Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. -М., 1999. -656 с.
Пособие представляет собой сборник заданий по стандартному курсу высшей математики для экономических и некоторых инженерных специальностей. Задания включают постановку задачи, краткое описание математического метода ее решения, анализ результатов вычислений. Примеры содержат все необходимые рекомендации по работе с математической моделью и пакетом.
Для студентов экономических и инженерных вузов, преподавателей математики, научных работников, пользователей компьютеров, применяющих математические методы в практической работе.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. Введение в Mathcad 13
1.1. Что такое Mathcad? 13
1.2. Основные характеристики Mathcad 15
1.3. Начало работы в среде Mathcad 19
1.4. Простейшие вычисления и операции в Mathcad 22
Простейшие арифметические вычисления (23). Определение переменной и ее значения. Вычисление значений выражений, содержащих переменные (25). Определение и вычисление значения функции в точке. Построение таблицы значений функции (26). Построение декартова графика функции (27). Сохранение рабочего документа в файле на диске (28). Открытие нового рабочего документа (29). Чтение рабочего документа из файла на диске (29).
1.5. Меню Mathcad 30
1.6. Панели инструментов Mathcad 41
1.7. Режим справки 46
1.8. Решение задач элементарной математики в Mathcad . 52
Преобразование алгебраических выражений (53). Определение, построение таблиц значений и графиков функций (56). Символьное решение уравнений и систем (58).
Глава 2. Задачи линейной алгебры 60
2.1. Используемые инструменты Mathcad 60
2.2. Действия с матрицами 67
Основные матричные операции (67). Транспонирование. Вычисление обратной матрицы. Ортогональные матрицы (70). Вычисление степени матрицы. Некоторые специальные матрицы (73).
2.3. Определители и их свойства 75
Вычисление определителей (75). Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера (78).
2.4. Системы линейных алгебраических уравнений 81
Матричная форма записи линейных систем. Решение матричных уравнений (81). Решение линейной системы методом Гаусса (83).
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций (86).
2.5. Общая теория линейных систем 89
Однородные системы линейных алгебраических уравнений (90). Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (95).
2.6. Линейное пространство. Основные понятия 98
Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе (99). Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы (102). Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы (105).
2.7. Элементарная теория линейных операторов 109
Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису (109). Образ и ядро линейного оператора (112). Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (115).
2.8. Матричные вычисления в экономических задачах 119
Модель межотраслевого баланса Леонтьева. Вычисление совокупного выпуска по заданному спросу (119). Цены в системе межотраслевых связей (126). Простейшая модель экспорта и импорта (128). Линейная модель международной торговли (1 31 ).
2.9. Геометрическое решение задачи линейного программирования 133
2.10. Решение переопределенных систем .. 139
Проекции на подпространство и метод наименьших квадратов (139).
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов (143).
Глава 3. Задачи математического анализа 148
3.1. Используемые инструменты Mathcad 148
Определение функций и построение графиков (148). Вычисление пределов (153). Дифференцирование (154). Интегрирование (156). Суммирование рядов (157). Разложение функций по формуле Тейлора (157).
3.2. Сходимость числовых последовательностей 159
3.3. Предел функции 166
Предел функции в точке (166). Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых (1 69).
3.4. Классификация точек разрыва. Поведение функции на границах области определения 173
Непрерывность и разрывы функции. Классификация разрывов (173). Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций (176).
3.5. Производная и ее вычисление 179
Односторонние производные (180). Геометрический смысл производной (183).
3.6. Исследование функций и построение графиков 186
Вертикальные и наклонные асимптоты (186). Исследование функции с помощью производной (189). Исследование функции с использованием второй производной (1 91 ).
3.7. Кривая на плоскости 195
Кривые на плоскости, заданные в декартовых координатах (195).
Кривые на плоскости, заданные параметрически (199). Кривые на плоскости, заданные в полярных координатах (201).
3.8. Формула Тейлора 203
3.9. Функции одной переменной в экономических задачах 208
Функции спроса. Равновесная цена (208). Функции спроса. Зависимость спроса от дохода (211). Максимальная прибыль (214).
Средние и предельные показатели (216). Эластичность экономических функций (218).
3.10. Неопределенный интеграл. Интегрирование заменой переменной 221
3.11. Определенный интеграл 226
Определение и вычисление определенного интеграла (226). Формула Ньютона — Лейбница. Интегрирование заменой переменной (229).
3.12. Несобственные интегралы 233
Интеграл как функция верхнего предела (233). Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (236). Несобственные интегралы от неограниченных функций (238).
3.13. Числовые ряды 240
Основные понятия. Ряды с неотрицательными членами (240). Знакопеременные ряды (248).
3.14. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора 250
3.15. Разложение функций в ряд Фурье 254
Сходимость ряда Фурье. Явление Гиббса (254). Приближение функций. Минимальное свойство коэффициентов Фурье (260). Зависимость скорости сходимости ряда Фурье от гладкости функции (262). Ряд Фурье на произвольном отрезке (267).
3.16. Функции многих переменных. Основные понятия 269 Графики функций двух переменных. Линии уровня. Локальные экстремумы (269). Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Производные высших порядков (275).
3.17. Формула Тейлора для функции многих переменных . 279
Формулы Тейлора и Маклорена. Аппроксимация функции многочленом (279). Локальный экстремум (283).
3.18. Функции многих переменных в экономических задачах 288
Производственные функции (288). Эластичность производственной функции (эластичность выпуска) (292). Производственная функция Кобба — Дугласа (293). Производственная функция CES (функция с постоянной эластичностью замещения) (295).
Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 298
4.1. Используемые инструменты Mathcad 298
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (301). Решение задачи Коши для дифференциальных уравнении высших порядков (302). Решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений (303). Решение задачи Коши для жесткой системы (304). Построение интегральных и фазовых кривых автономной системы (305). Построение векторного поля автономной системы (306).
4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка 308
Уравнение с разделяющимися переменными (309). Численное решение задачи Коши методом Рунге — Кутты (312).
4.3. Уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений 315
4.4. Линейные дифференциальные уравнения 321
Принцип суперпозиции (321). Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение (323). Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение. Метод подбора (327).
4.5. Жесткие системы. Решение дифференциальных уравнений методом матричной экспоненты 330
4.6. Автономные системы на плоскости 338
Фазовая плоскость, фазовые кривые (339). Точки покоя линейной автономной системы (343). Векторное поле автономной системы (348) Устойчивые решения. Предельные циклы. Фазовые портреты нелинейных систем (353).
4.7. Динамические системы в экономических задачах 356
Динамика популяций. Уравнения Вольтерра — Лотка (356). Уравнения Вольтерра — Лотка с логистической поправкой (361). Модель Холдинга — Тэннера (364). Выравнивание цен (367).
Глава 5. Теория вероятностей 370
5.1. Функции и инструменты Mathcad 370
5.2. Случайные величины. Функции распределения 374
Функция распределения случайной величины (375). Наиболее распространенные распределения дискретных случайных величин (377).
5.3. Предельные распределения для биномиального распределения ............................. 384
5.4. Непрерывные случайные величины 391
Наиболее распространенные распределения непрерывных случайных величин (391). Квантили (402).
5.5. Совместные распределения нескольких случайных величин 403
Многомерные случайные величины Функции распределения многомерных случайных величин (403). Независимость случайных величин (406).
5.6. Условные распределения случайных величин 408
Условные распределения дискретных случайных величин (408). Условные распределения непрерывных случайных величин (413).
5.7. Функции от случайных величин 419
Плотность вероятности суммы двух случайных величин (422). Более сложные функции от случайных величин (424).
5.8. Числовые характеристики случайных величин 427
Математическое ожидание случайной величины (427). Дисперсия случайной величины (429). Моменты (431). Эксцесс (435). Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайных величин, принимающих только положительные значения (437).
5.9. Числовые характеристики двумерных случайных величин 438
Математическое ожидание (439). Дисперсия (441 ). Условное математическое ожидание (443). Ковариация (453). Корреляция (456).
Глава 6. Задачи математической статистики 462
6.1. Используемые инструменты Mathcad 462
Ввод и вывод файлов данных (462). Функции вычисления выборочных характеристик (464). Построение эмпирических распределений (466). Моделирование выборок из стандартных распределений (468).
6.2. Основные задачи статистики. Выборки. Гистограммы. Полигоны частот 469
Эмпирические распределения и числовые характеристики (470). Числовые характеристики выборки (476). Оценка функции распределения (479).
6.3. Точечные оценки параметров распределений 486
Точечные оценки математического ожидания (486). Точечные оценки дисперсии (489). Точечная оценка вероятности события (491). Точечная оценка параметров равномерного распределения (492).
6.4. Методы получения точечных оценок 495
Метод максимального правдоподобия для дискретной случайной величины (495). Метод максимального правдоподобия для непрерывной случайной величины (498).
6.5. Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины 505
Доверительные интервалы для математического ожидания (506). Доверительный интервал для дисперсии (508). Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения (511). Доверительный интервал для вероятности (514). Доверительный интервал для коэффициента корреляции (515).
6.6. Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины 519
Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии (521). Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при неизвестной дисперсии (526). Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии (529). Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях (532). Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий распределений при равных неизвестных дисперсиях (535).
6.7. Линейная регрессия 538
6.8. Элементы дисперсионного анализа 549
Однофакторный дисперсионный анализ (549). Двухфакторный дисперсионный анализ (556).
Приложение. Варианты заданий 564
