Погорелов А.В. Основания геометрии: учебное пособие для студентов математических специальностей вузов. - М., 1970.
Книга посвящена принципиальным вопросам, связанным с аксиоматическим построением евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского, аффинной и проективной геометрий. В частности, в ней рассматриваются вопросы независимости, непротиворечивости и полноты системы аксиом указанных геометрий. Наряду с этим она содержит значительный фактический материал по геометрии Лобачевского, аффинной и проективной геометриям. Изложение отличается простотой и оригинальностью.
Книга рекомендуется студентам-математикам всех специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 5
Введение 9
Глава I. Исторический очерк обоснования геометрии 10
§ 1. «Начала» Евклида............10
§ 2. Попытки доказательства пятого постулата ... 13
§ 3. Открытие неевклидовой геометрии......15
§ 4. Работы по основаниям геометрии во второй половине XIX в. ...............19
Глава II. Современное аксиоматическое построение евклидовой геометрии............22
§ 1. Аксиомы связи. Следствия из аксиом связи . . 22
§ 2. Аксиомы порядка. Взаимное расположение точек на прямой и плоскости..........24
§ 3. Взаимное расположение лучей в пучке. Угол . . 28
§ 4. Аксиомы движения. Конгруэнтность фигур ... 30
§ 5. Конгруэнтность отрезков, углов, треугольников 33
§ 6. Сравнение отрезков и углов и операции над ними 37
§ 7. Некоторые соотношения между сторонами и углами треугольника............39
§ 8. Аксиома непрерывности....................42
§ 9. Пересечение прямой с окружностью, пересечение двух окружностей...............45
§ 10. Измерение отрезков и углов....... . 47
§ 11. Аксиома параллельности. Подобие треугольников 50
Глава III. Исследование аксиом евклидовой геометрии . . 54
§ 1, Декартова реализация системы аксиом евклидовой геометрии........... . , 54
§ 2. Выполнимость аксиом евклидовой геометрии в декартовой реализации ....................55
§ 3. Непротиворечивость и полнота системы аксиом евклидовой геометрии..........61
§ 4. Независимость аксиомы непрерывности .... 63
§ 5. Независимость аксиомы параллельности .... 65
§ 6. О зависимости некоторых аксиом движения . » 68
Глава IV. Геометрия Лобачевского ......... 73
§ 1 Некоторые предложения абсолютной геометрии 73
§ 2. Некоторые вспомогательные функции .... . 77
§ 3. Теорема Пифагора «в малом» . . . .....82
§ 4. Линейный элемент плоскости . . . .....85
§ 5. Полнота системы аксиом геометрии Лобачевского. Изоморфизм всех ее реализаций . . .89
§ 6. Важнейшие интерпретации геометрии Лобачевского ................91
§ 7. Некоторые факты геометрии Лобачевского ... 96
Глава V. Основы проективной геометрии . . . .... 101
§ 1. Аксиома связи. Теорема Дезарга......101
§ 2. Гармонические четверки точек...... . 105
§ 3. Аксиомы порядка. Аффинная плоскость . . . . 108
§ 4. Векторы на аффинной плоскости.......112
§ 5. Аксиома непрерывности. Умножение вектора на число ................117
§ 6. Декартовы и проективные координаты . . . . 122
§ 7. Непротиворечивость и полнота системы аксиом
проективной геометрии на плоскости.....125
§ 8. Проективные преобразования.......130
§ 9. Другие предложения проективной геометрии . . 137
§ 10. Различные геометрии в проективной схеме . . 143
Литература...................150
