Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия: Учеб. пособие для вузов,—М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.—480 с.
Является непосредственным продолжением пособий того же автора «Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия» и «Семестр II. Линейная алгебра». Семестр III посвящен гладким многообразиям. В него включены также сведения из общей топологии. Подробно разъясняется понятие подмногообразия, доказываются теоремы Сарда и Уитни, излагается теория дифференциальных форм и их интегрирования, а также элементарная дифференциальная геометрия—теория кривых (формулы Френе) и теория поверхностей (вплоть до теоремы о сохранении полной кривизны при изгибаниях).
Может служить учебным пособием по обязательному курсу геометрии и топологии в университетах и пединститутах.
Для студентов математических специальностей вузов.
Содержание
Предисловие
Лекция 1
Простые линии на плоскости. — Задание линий уравнением. — Теорема Уитни. — Жордановы кривые. — Гладкие и регулярные кривые. — Непараметризованные кривые. — Натуральный параметр
Лекция 2
Кривые на плоскости. — Формулы Френе для пространственной кривой. — Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репера. — Формулы Френе для кривой в n-мерном пространстве. — Существование и единственность кривой с данными кривизнами
Лекция 3
Элементарные поверхности и их параметризации. — Примеры поверхностей. — Касательная плоскость и касательное подпространство. — Гладкие отображения поверхностей и их дифференциалы. — Диффеоморфизмы поверхностей. — Первая квадратичная форма поверхности. — Изометрии. — Первый дифференциальный параметр Бельтрами. — Примеры вычисления первых квадратичных форм. — Развертывающиеся поверхности
Лекция 4
Вектор нормали. — Поверхность как график функции. — Нормальные сечения. — Вторая квадратичная форма поверхности. — Индикатриса Дюпена. — Главные, полная и средняя кривизны. — Вторая квадратичная форма графика. — Линейчатые поверхности нулевой кривизны. —Поверхности вращения
Лекция 5
Деривационные формулы Вейигартена. — Коэффициенты связности. — Теорема Гаусса. — Явная формула для гауссовой кривизны. — Необходимые и достаточные условия изометрнчиостн. — Поверхности постоянной кривизны
Лекция 6
Вводные замечания. — Открытые подмножества пространства Rn и их диффеоморфизмы. — Карты и атласы. — Максимальные атласы. — Гладкие многообразия. — Примеры гладких многообразий
Лекция 7
Топология гладкого многообразия. — Открытые подмногообразия. — Окрестности и внутреиние точки. — Гомеоморфизмы. — Первая аксиома счетности и локальная евклидовость. — Вторая аксиома счетности. - Нехаусдорфовы многообразия. — Гладкости на топологическом пространстве. — Топологические многообразия. — Нульмерные многобразия. — Категория ТОР. — Категория DIFF. — Перенесение гладкости
Лекция 8
Топологическая инварнантность размерности многообразий. — Размерность по покрытиям. — Компактные пространства. — Лемма Ле-Сега. — Оценка сверху размерности компактных подмножеств пространства Rn. — Свойство монотонности размерности. — Замкнутые множества. — Монотонность размерности по замкнутым множествам. — Прямое произведение топологических пространств. — Компактность прямого произведения компактных пространств
Лекция 9
Теорема о барабане. — Теорема Брауэра о неподвижной точке. — Теорема о перегородках в кубе.— Нормальные и вполне нормальные пространства. — Продолжение перегородок. — Теорема Лебега о покрытиях куба.— Оценка размерности куба снизу
Лекция 10
Порядковые числа. — Интервальная топология в множествах порядковых чисел. — Нульмерные пространства. — Пример Тихонова. — Тихоновское произведение топологических пространств. — Фильтры. — Центрированные множества множеств. — Ультрафильтры. — Критерий компактности. — Теорема Тихонова
Лекция 11
Гладкость на аффинном пространстве. — Многообразие матриц данного ранга. — Многообразия Штифеля.— Ряды матриц. — Экспоненциал матрицы. — Логарифм матрицы. — Ортогональные и J-ортогональные матрицы. — Матричные группы Ли. — Группы J-ортогональных матриц. — Унитарные и J-унитарные матрицы. — Комплексные матричные группы Ли. — Комплексно аналитические многообразия. — Линейно связные пространства. — Связные пространства. — Совпадение связности и линейной связности для многообразий. — Гладкие и кусочно гладкие пути. — Связные многообразия, неудовлетворяющие второй аксиоме счетности
Лекция 12
Векторы, касательные к гладкому многообразию. — Производные голоморфных функций. — Касательные векторы комплексно аналитических многообразий. — Дифференциал гладкого отображения. — Цепное правило. — Градиент гладкой функции. — Теорема об этальных отображениях. — Теорема о замене локальных координат. — Локально плоские отображения
Лекция 13
Доказательство теоремы о локально плоских отображениях. — Погружения и субмерсии. — Подмногообразия гладкого многообразия. — Подпространство, касательное к подмногообразию. — Локальное задание подмногообразия. — Единственность структуры подмногообразия. — Случай вложенных подмногообразий. — Теорема о прообразе регулярного значения. — Решения систем уравнений. — Группа SL(n) как подмногообразие
Лекция 14
Теорема вложения. — Еще о компактных множествах. — Функции Урысона. — Доказательство теоремы вложений. — Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетиости. —Разреженные и тощие множества. — Нуль-множества
Лекция 15
Теорема Сарда. — Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда. — Прямое произведение многообразий. — Многообразие касательных векторов. — Доказательство теоремы вложення Уитни
Лекция 16
Тензоры. — Тензорные поля. — Векторные поля и дифференцирования. — Алгебра Ли векторных полей
Лекция 17
Итегральные кривые векторных полей. — Векторные поля и потоки. — Перенос тензорных полей с помощью диффеоморфизмов. — Производная Ли тензорного поля
Лекция 18
Линейные дифференциальные формы. — Дифференциальные формы произвольной степени. — Дифференциальные формы как функционалы от векторных полей. — Внутреннее произведение векторного поля и дифференциальной формы. — Перенос дифференциальной формы посредством гладкого отображения
Лекция 19
Внешний дифференциал дифференциальной формы. — Производная Ли дифференциальной формы
Лекция 20
Комплекс де Рама и группы когомологий гладкого многообразия. — Группа H0X. — Лемма Пуанкаре. — Группа H1S2. — Группа H1S1. — Вычисление группы H1S1 с помощью интегралов. — Группа H2S2. — Группы H1Sn при n больше 2. — Группы HmSn. m меньше n.— Группы HnSn
Лекция 21
Симплициальные схемы и их геометрические реализации. — Группы когомологий симплициальных схем. — Двойной комплекс покрытия. — Группы когомологий двойного комплекса. — Окаймленные двойные комплексы. — Краевые гомоморфизмы. — Ациклические комплексы. — Ацикличность по строкам при р=0
Лекция 22
Ацикличность по строкам двойного комплекса нумерируемого покрытия. — Ацикличность по столбцам двойного комплекса покрытия Лере. — Теорема де Рама-Лере. — Обобщение. — Группы Ep,q2. Группы Ep,q. — Группа, присоединенная к градуированной группе с фильтрацией
Лекция 23
Группы Ep,qr. — Спектральные последовательности. —Спектральная последовательность двойного комплекса. — Спектральная последовательность покрытия
Лекция 24
Компактно исчерпываемые и паракомпактные топологические пространства. — Паракомпактные многообразия. — Интегралы в Rn. — Кубируемые множества и плотности в произвольных многообразиях. — Интегрирование плотностей
Лекция 25
Ориентируемые многообразия. — Интегрирование форм. — Лемма Пуанкаре для финитных форм. - Группа HnfinX. — Случай ориентируемого многообразия
Лекция 26
Степень гладкого собственного отображения. — Алгебраическое число прообразов регулярного значения. — Инвариантность степени при гладких гомотопиях. — Доказательство теоремы о барабане. — Инвариантность степени при любых гомотопиях
Лекция 27
Области с регулярной границей. — Теорема Стокса. — Формулы Гаусса-Остроградского, Грина и Ньютона-Лейбница. — Многообразия с краем. — Внутренние и краевые точки. — Вложенные d-подмногообразия. — Теорема Стокса для многообразии с краем и d-подмногообразий. — Теорема Стокса для поверхностных интегралов.— Теорема Стокса для сингулярных подмногообразий. — Криволинейные интегралы второго рода
Лекция 28
Операторы векторного анализа. — Следствия тождества d о 1=0. — Следствия формулы дифференцирования произведения. — Операторы Лапласа и Бельтрами. — Поток векторного поля. — Формула Гаусса—Остроградского для расходимости и формулы Грина. — Расходимость как плотность источников. — Формула Стокса для циркуляции. — Формула Гаусса-Остроградского для вихря. — Обобщенная формула Гаусса-Остроградского
Лекция 29
Периоды дифференциальных форм. — Сингулярные симплексы, цепи, циклы и границы. — Теорема Стокса для интегралов по цепям. — Группы сингулярных гомологнй. — Теорема де Рама. — Группы когомологий цепного комплекса. — Группы сингулярных когомологий
