Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия: Учеб. пособие для вузов.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 496 с.
Является непосредственным продолжением пособий того же автора «Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия», «Семестр II. Линейная алгебра» и «Семестр III. Гладкие многообразия».
Семестр IV посвящен в основном теории связностей в векторных расслоениях. Рассматриваются также топологические вопроси — фундаментальная группа, накрытия и элементы теории K-групп. Заканчивается книга экскурсом в теорию гомотопических групп.
Содержание
Предисловие
Лекция 1
Расслоения и их морфизмы. — Фактортопология и факторпространство. — Действия групп. — Топологические и гладкие группы, их действия. — Главные расслоения. — Расслоения со структурной группой. — Сечения расслоений. — Локально тривиальные расслоения
Лекция 2
Накрытия. — Примеры накрытий. — Замечания о накрытиях. — Теорема о накрывающем пути. — Уточнение этой теоремы. — Расслоения в смысле Гуревича
Лекция 3
Гомотопические классы путей. — Фундаментальная группа топологического пространства. — Односвязность стягиваемых пространств. — Односвязность сферы. — Фундаментальная группа окружности
Лекция 4
Независимость фундаментальной группы от выбора начальной точки. — Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный непрерывным отображением. — Точная гомотопическая последовательность накрытия. — Свойства гомотопической последовательности накрытия. — Односвязные накрытия. — Существование и единственность поднятий. — Удобные пространства
Лекция 5
Полулокально односвязные пространства. — Существование односвязных накрытий. — Условие изоморфности двух накрытий. — Универсальные накрытия. — Вспомогательная лимма. — Теорема классификации накрытий. — Группа автоморфизмов накрытия. — Регулярные накрытии. — Введение гладкости
Лекция 6
Векторные расслоения. — Сечения векторных расслоений. — Морфизмы векторных расслоений. — Комплексные и кватернионные структуры на вещественном расслоении. — Примеры векторных расслоений. — Расслоения ассоциированные с главными CL (n; К) - расслоениями. — Склеивающие коциклы векторных расслоений. — Векторные расслоения и классы когомологий матричных коциклов
Лекция 7
Векторные -расслоения. — Линейные -пространства. — Кватернионы. — Группа UH(n). — Векторные расслоения типа . — Их связь с главными -расслоениями. — Условие редуцируемо- сти. — Ориентируемые векторные расслоения. — Метризуемые векторные расслоения.
Лекция 8
Квазикомплексные многообразия. — Многообразие кососимметрических ортогональных матриц. — Условие квазикомплексифицируемости. — Квазикомплексифицируемые сферы. — Алгебра октав. — Квазикомплексифицируемссть сферы S6. — Квазикомплексифицируемые многообразия размерности 6. — Параллелизуемость квазигрупп. — Вещественные алгебры с делением
Лекция 9
Геометрии Клейна. — Расслоения типа . — Сравнение -расслоений с расслоениями . — Редукция -расслоений. — Редукция главных расслоений. — Двулистное накрытие неориентируемого многообразия
Лекция 10
Прообраз векторного расслоения. — Гладкие векторные расслоения. — Поля горизонтальных подпространств. — Связности и их формы. — Прообраз связности. — Связности на комплексном расслоении и на его овеществлении. — Диагонализация связности
Лекция 11
Горизонтальные кривые. — Ковариантные производные сечений. — Ковариантное дифференцирование вдоль кривой. — Связности как ковариантные дифференцирования. — Линейные отображения модулей сечений. — Связности на метризованных расслоениях
Лекция 12
ξ-тензорные поля. — Полилинейные функционалы и ξ-тензорные поля. — Ковариантное дифференцирование ξ-тенэорных полей. - Случай ξ-ковекторных полей. — Общий случай. — Кронекерово произведение матриц и тензорное произведение линейных операторов. — Функторы. — Тензорное произведение векторных расслоений. — Обобщение. — Тензорное произведение сечений
Лекция 13
Ковармантный дифференциал. — Сравнение различных определений связности. — Группы Ли. — Примеры групп Ли. — Алгебра Ли группы Ли. — Касательное пространство в единице. — Формула дли коммутатора
Лекция 14
Однопараметрические подгруппы. — Экспоненциальное отображение и нормальные координаты. — Выражение умножения в группе Ли через умножение в ее алгебре Ли. — Дифференциал присоединенного представления. — Операции в алгебре Ли группы Ли и однопараметрические подгруппы. — Подгруппы Ли группы Ли. — Распределения и их интегральные подмногообразия. — Теорема Фробениуса. — Подмногообразия многообразий, удовлетворяющих второй аксиоме счетности. — Единственность структуры подалгебры Ли
Лекция 15
Замкнутые подгруппы группы Ли. — Теорема Картана. — Алгебраические группы. — Карты, согласованные с подгруппой Ли. — Слабейшая гладкость на подгруппе Ли. — Теорема Фрейденталя. — Теорема Адо и третья теорема Ли. — Локально изоморфные группы Ли. — Групповые накрытия. — Существование универсального группового накрытия
Лекция 16
Связности на расслоении реперов. — Сравнение со связностями на векторных расслоениях. — Явное построение связности на векторном расслоении. — Гладкие главные расслоения. — Фундаментальные вертикальные поля. — Горизонтальные формы. — Векторнозначные дифференциальные формы
Лекция 17
Фундаментальные формы и поля горизонтальных подпространств. — Связности на гладком главном расслоении. — Проекторы, индуцированные связностями. — Горизонтальные векторные поля. — Связности на ассоциированных расслоениях. — Связности на ассоциированных векторных расслоениях
Лекция 18
Параллельный перенос вдоль кривой. — Группа голономии и ее компонента единицы. — Лемма о разложении гомотопных нулю петель в произведение малых лассо. — Доказательство связности суженной группы голономни. — Изоморфизм групп голономии в различных точках. — Счетность фундаментальной группы. — Теорема редукции. — Доказательство существования связности и универсально тривиализирующих покрытий. — Аффинное пространство связностей
Лекция 19
Вычисление параллельного переноса вдоль петли. — Оператор кривизны в данной точке. — Перенесение вектора по бесконечно малому параллелограмму. — Тензор иривизны. — Формула преобразования компонент тензора кривизны. — Выражение оператора кривизны через ковариантные производные. — Структурное уравнение Картана. — Тождество Бианки
Лекция 20
Тензор кривизны и группа голономии. — Выражение алгебры голономии через тензор кривизны. — Случай плоской связности. — Коварнантно постоянные тривиализации. — Связности, обладающие абсолютным параллелизмом. — Переход к главным расслоениям. — Параллельный перенос и группа голономии для главных расслоеий. — Теорема редукции для главных расслоений. — Форма кривизны связности на главном расслоении. — Теорема Амброза — Сингера. — Применение теоремы Амброза—Сингера к векторным расслоениям
Лекция 21
Лемма о касательном пространстве прямого произведения и ее следствия. — Об одном дифференциальном уравнении. — Существование горизонтальных накрытий для главных расслоений. — Альтернативное определение формы кривизны. — Тождество Бианки для формы кривизны главного расслоения. — Структурное уравнение Картана. — Эквивариантные горизонтальные формы. — Мнимые кватернионы. — Формы Fλ,b
Лекция 22
Уравнения Максвелла электромагнитного поля. — Операторная нитерпретация. — Калибровочные поля. — Инстантоны. — Формула для топологического заряда. — Функционал Янга—Миллса. — Инвариантные многочлены на пространстве матриц. — Характеристические классы векторных расслоений
Лекция 23
Характеристические классы Чженя и Понтрягина. — Характеристические числа Чженя и Понтрягина. — Свойства классов Чжеия и Поитрягина. — Полные классы Чженя и Понтрягина. — Характеры Чженя и Понтрягина. — Характеристический класс Эйлера. — К-функтор. — Расслоения и пространства конечного типа
Лекция 24
К-функтор. — Сравнение К- и К-функторов. — Операции λk. — Операции Адамса. — Группы KCSn. — Инвариант Хопфа. — Конструкция Хопфа. — Ряд элементарных импликаций. — Теорема о равносильности
Лекция 25
Главные расслоения над сферами. — Характеристическое отображение дли расслоения τSn+1. - Характеристическое отображение для расслоении τUSn+1. — Непараллелизуемость сфер S4l+1. Гомотопические Группы пунктированных пространств. — Альтернативное определение гомотопических групп. — Гомотопические группы и классы отображений сфер. — Гомотопические группы абелевых пространств
Лекция 26
Гомотопическая последовательность расслоения. — Группы πnSm при n меньше m. — Стабилизация групп πnSO(m). — Классификация отображении многообразий в сферы. — Теоремы Урысона и Титце. — Связность группы Diff+0Rn. — Доказательство теоремы Хопфа о продолжении
Лекция 27
Группа πnSn. — Теорема о характеристическом классе. — Ее обобщение. — Гомотопические группы накрывающего пространства. — Расслоение Хопфа и группа π3S2. — Группы πn+1Sn. — Операция о в гомотопических группах сфер. — Вычисление гомотопического класса отображения pUоTUn+1. - Cвязь с KC-группами
Дополнение
Построение (N,Sp(n))-инстантонов. — Описание (N,Sp(n))-инстантонов. — Пространство модулей (N,Sp(n))-инстантонов. — N-инстантоны. — Случай N=1. — Случай N=2. — Случай N = 3
