Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник для высших технических учебных заведений. - М., 1966.
Приступая к изложению аналитической геометрии, мы, ради удобства, делим весь курс на две части. В первой части будем заниматься исследованием плоских геометрических форм средствами алгебры, основанными на применении координат. Во второй части мы будем аналогично поступать с пространственными геометрическими формами.
Служебную роль в курсе имеет глава, посвященная изложению теории определителей 2-го и 3-го порядка. Эта глава, равно как и дальнейшие ее приложения, может быть опущена.
В целях большей геометрической наглядности исходные уравнения плоскости и прямой в пространстве даны в векторной форме. Соответственно с этим включена глава, в которой изложены необходимые сведения из векторной алгебры. Однако, учитывая потребности тех втузов, в которых при изучении аналитической геометрии не проходят векторной алгебры, мы даем параллельно векторному изложению теории плоскости и прямой также и координатное.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к тринадцатому изданию........... 7
Введение........................... 9
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава I. Метод координат......................И
§ 1. Направленные отрезки..........................11
§ 2. Координаты на прямой линии.................14
§ 3. Расстояние между двумя точками на прямой линии ....... 15
§ 4. Прямоугольные координаты на плоскости...............15
§ 5. Расстояние между двумя точками на плоскости.........18
§ 6. Деление отрезка в данном отношении .............
§ 7. Угол между двумя осями...................22
§ 8. Основные положения теории проекций.............24
§ 9. Проекции направленного отрезка на оси координат.......27
§ 10. Площадь треугольника....................29
§ 11. Полярные координаты........ .............31
Глава II. Линии и их уравнения. ...... ............36
§ 1. Составление уравнений заданных линий............36
§ 2. Геометрический смысл уравнений...... .........37
§ 3. Две основные задачи.....................40
§ 4. Пересечение двух линий....................40
§ 5. Параметрические уравнения линий ..............41
§ 6. Уравнения линий в полярных координатах ..........41
Глава 111. Прямая линия......................46
§ 1. Угловой коэффициент прямой.................46
§ 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом......47
§ 3. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя переменными.........................48
§ 4. Исследование общего уравнения первой степени ..............50
§ 5. Уравнение прямой линии в отрезках..............51
§ б. Построение прямой линии по ее уравнению.........53
§ 7. Угол между двумя прямыми........ .........53
§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 55
§ 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении........56
§ 10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.....58
§ 11. Уравнение пучка прямых..................60
§ 12. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ... 62
§ 13. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой ......64
§ 14. Нормальное уравнение прямой линии............64
§ 15. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду......65
§ 16. Расстояние от данной точки до данной прямой........66
§ 17. Уравнение прямой в полярной системе координат ...... 68
Глава IV. Элементарная теория конических сечений........73
§ 1. Предварительные замечания.................73
§ 2. Окружность ........................73
§ 3. Эллипс...........................75
§ 4. Гипербола и ее асимптоты .................77
§ 5. Парабола..........................81
§ 6. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством циркуля и линейки.....82
§ 7. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения ... 83
§ 8. Эксцентриситет и директрисы эллипса............84
§ 9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы ..........86
§ 10. Эксцентриситет и директриса параболы............87
§ 11. Уравнение конического сечения в полярных координатах . . 88
§ 12. Диаметры эллипса. Сопряженные диаметры.........90
§ 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры........93
§ 14. Диаметры параболы.....................94
§ 15. Касательная ........................95
§ 16. Эллипс как проекция окружности..............98
§ 17. Параметрические уравнения эллипса ............99
Глава V. Преобразование координат. Классификация линий .... 106
§ 1. Задача преобразования координат..............106
§ 2. Перенос начала координат..................106
§ 3. Поворот осей координат...................107
§ 4. Общий случай........................108
§ 5. Некоторые приложения формул преобразования координат . . 109
§ 6. Преобразование общего уравнения второй степей и, не содержащего
произведения переменных..................113
§ 7. Преобразование общего уравнения второй степени......120
§ 8. Классификация линий....................123
Глава VI. Определители 2-го и 3-го порядка............128
§ 1. Определители 2-го порядка.................128
§ 2. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными . . 131
§ 3. Определители 3-го порядка.................133
§ 4. Основные свойства определителей 3-го порядка........135
§ 5. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 139
§ б. Однородная система.....................141
§ 7. Общее исследование системы трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными............... .... 144
§ 8. Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии ....
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава I. Метод координат в пространстве.............152
§ 1. Прямоугольные координаты.....................152
§ 2. Основные задачи......................155
§ 3. Основные положения теории проекций в пространстве .... 158
§ 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве.....160
Глава II. Элементы векторной алгебры ..............164
§ 1. Векторы и скаляры.....................164
§ 2. Сложение векторов.....................165
§ 3. Вычитание векторов.....................168
§ 4. Умножение вектора на число................169
§ 5. Проекции вектора......................170
§ 6. Действия над векторами, заданными своими проекциями . . .173
§ 7. Скалярное произведение векторов..............174
§ 8. Основные свойства скалярного произведения.........175
§ 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями . . .176
§ 10. Направление вектора....................178
§ 11. Векторное произведение...................180
§ 12. Основные свойства векторного произведения.........182
§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями . . . 184
§ 14. Векторно-скалярное произведение..............187
§ 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях........189
§ 16. Двойное векторное произведение...............191
Глава III. Геометрическое значение уравнений...........195
§ 1. Уравнение поверхности...................195
§ 2. Геометрический смысл уравнений..............196
§ 3. Две основные задачи ....................197
§ 4. Сфера ...........................197
§ 5. Цилиндрические поверхности.................198
§ 6. Уравнения лииии в пространстве..............199
§ 7. Пересечение трех поверхностей................200
Глава IV. Плоскость........................201
§ 1. Нормальное уравнение плоскости ..............201
§ 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду.....................203
§ 3. Исследование общего уравнения плоскости ..........206
§ 4. Уравнение плоскости в отрезках...............207
§ 5. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку .... 209
§ 6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки . . 210
§ 7. Угол между двумя плоскостями ...............212
§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 213
§ 9. Точка пересечения трех плоскостей.............. 216
§ 10. Расстояние от точки до плоскости ..............217
Глава V. Прямая линия..........................222
§ 1. Уравнения прямой линии...................222
§ 2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой........................225
§ 3. Угол между двумя прямыми линиями.............229
§ 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых . , 229
§ 5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки . . . . 230
§ 6. Угол между прямой и плоскостью..............231
§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости ...........................231
§ 8. Уравнение пучка плоскостей.................232
§ 9. Пересечение прямой с плоскостью...............233
§ 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости . . 234
Глава VI. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. Поверхности 2-го порядка ...........241
§ 1. Классификация поверхностей.................241
§ 2. Цилиндрические поверхности (общий случай).........241
§ 3. Конические поверхности...................242
§ 4. Поверхности вращения....................243
§ 5. Эллипсоид..........................245
§ 6. Однополостиый гиперболоид .................246
§ 7. Двуполостный гиперболоид..................248
§ 8. Эллиптический параболоид..................249
§ 9. Гиперболический параболоид ................. 250
§ 10. Конус 2-го порядка.....................251
§ 11. Цилиндры 2-го порядка ...................252
§ 12. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка. Конструкции В. Г. Шухова....................252
Упражнения...........................255
Ответы...............................256
