Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. - М., 1977. 488 с.
Книга возникла из лекционных курсов, читавшихся авторами в Ленинградском и Московском университетах и содержавших систематическое изложение основ современной топологии. Она охватывает следующие разделы этих курсов: основы общей топологии, симплициальные и клеточные пространства, элементарную часть дифференциальной топологии, расслоения и гомотопические группы.
Книга рассчитана на студентов-математиков и физиков университетов и пединститутов, а также на аспирантов и научных работников в области математики и смежных областях.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Теоретико-множественные термины и обозначения, употребляемые в этой 9
книге, но не являющиеся общепринятыми
ГЛАВА 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Основные понятия 13
1. Топология (13). 2. Метрика (16). 3. Подпространства (17). 4. Непрерывные отображения (19) 5. Аксиомы отделимости (23). 6. Аксиомы счетности (26). 7. Компактность (28). § 2. Конструкции 33
1. Суммы (33). 2. Произведения (33). 3. Факторизация (37). 4. Склеивание (40). 5. Проективные пространства (44). 6. Более специальные конструкции (47). 7. Пространства непрерывных отображений (51). 8. Случай пространств с отмеченной точкой (54). 9. Упражнения (59).
§ 3. Гомотопии 60
1. Общие определения (60). 2. Пути (64). 3. Связность и А-связ-ность (65). 4. Локальные свойства (69). 5. Пары Борсука (70). 6. Корсы (73). 7. Гомотопические свойства топологических конструкций (75). 8. Упражнения (81).
ГЛАВА 2 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. Клеточные пространства и их топологические свойства 82
1. Основные понятия (82). 2. Склеивание клеточных пространств из шаров (87). 3. Канонические клеточные разбиения сфер, шаров и проективных пространств (88). 4. Дальнейшие топологические свойства клеточных пространств (89). 5. Клеточные конструкции (94). 6. Упражнения (98).
§ 2. Симплициальные пространства 98
1. Евклидовы симплексы (98), 2. Симплициальные пространства и симплициальные отображения (101). 3. Симплициальные схемы (104).
4. Полиэдры (106). 5. Симплициальные конструкции (107). 6. Звезды. Липки. Регулярные окрестности (113). 7. Симплициальная аппроксимация непрерывного отображения (117), 8. Упражнения (118),
§ 3. Гомотопические свойства клеточных пространств 119
1. Клеточные пары (119). 2. Клеточная аппроксимация непрерывного отображения (121). 3. Клеточные А:-связные пары (125). 4. Симплициальная аппроксимация клеточных пространств (129). 5. Упражнения (130).
ГЛАВА 3 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Основные понятия 131
1. Топологические многообразия (131). 2. Дифференциальные структуры (139). 3. Ориентации (148). 4. Многообразия касательных векторов (153). 5. Вложения, погружения и субмерсии (159). 6. Комплексные структуры (163). 7. Упражнения (168).
§ 2. Многообразия Штифеля и Грассмана 168
1. Многообразия Штифеля (168). 2. Многообразия Грассмана (174). 3. Некоторые многообразия Штифеля и Грассмана малых размерностей (181). 4. Упражнения (182).
§ 3. Отступление: три теоремы анализа 183
1. Аппроксимация функций многочленами (183). 2. Особые значения(186). 3. Невырожденные критические точки (190).
§ 4. Вложения. Погружения. Сглаживания. Аппроксимации 193
1. Пространства гладких отображений (193). 2. Простейшие теоремы вложения (196). 3. Трансверсализации и трубки (197). 4. Сглаживание отображений в замкнутом случае (200). 5. Гладкое склеивание многообразий (203). 6. Сглаживание отображений при наличии края (208). 7. Приведение отображений в обш;ее положение (213). 8. Отображения, трансверсальные к подмногообразию (218). 9. Повышение класса гладкости многообразия (221). 10. Аппроксимация отображений вложениями и погружениями (226). 11. Упражнения (229).
§ 5. Простейшие структурные теоремы 231
1. Функции Морса (231). 2. Кобордизмы и хирургия (235). 3. Двумерные многообразия (245). 4. Упражнения (253).
ГЛАВА 4 РАССЛОЕНИЯ
§ 1. Расслоения без групповой структуры 254
1. Обилие определения (254). 2. Локально тривиальные расслоения (256). 3. Рацслоения Серра (258). 4. Расслоения пространств отображений (281). 5. Упражнения (264)-.
§ 2. Отступление: топологические группы и группы преобразований 264
1. Топологические группы (264). 2. Группы гомеоморфизмов (269). 3.
Действие (272). 4. Упражнения (283).
§ 3. Расслоения с групповой структурой 283
1. Пространства с F-структурой (283). 2. Расслоения Стинрода (285). 3. Ассоциированные расслоения (290). 4. Расслоения Эресмана — Фельдбау (294). 5. Упражнения (296).
§ 4. Классификация расслоений Стинрода 297
1. Расслоения Стинрода и гомотопии (297). 2. Универсальные расслоения (301). 3. Расслоение Милнора (304). 4. Сужение структурной группы (307). 5. Упражнения (308).
§ 5. Векторные расслоения 308
1. Общие определения (308). 2. Конструкции (315). 3. Классические универсальные векторные расслоения (321). 4. Важнейшие сужения структурной группы (327). 5. Упражнения (329).
§ 6. Гладкие расслоения 330
1. Основные понятия (330). 2. Сглаживания и аппроксимации (333). 3. Гладкие векторные расслоения (337). 4. Касательные и нормальные расслоения (343). 5. Степени (348). 6. Упражнения (355).
ГЛАВА 5 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 1. Общая теория 357
1. Абсолютные гомотопические группы (357). 2. Отступление: ансамбли (361). 3. Ансамбли гомотопических групп топологического пространства (363). 4. Относительные гомотопические группы (367). 5. Отступление: последовательности групп и гомоморфизмов и п-последовательности (372). 6. Гомотопическая последовательность пары (379). 7. Ансамбли гомотопических групп слоев расслоения Серра (383). 8. Гомотопическая последовательность расслоения Серра (386). 9. Воздействие других структур (391). 10. Другие описания гомотопических групп (396). 11. Аддиционные теоремы (400). 12. Упражнения (402).
§ 2. Гомотопические группы сфер и классических многообразий 403
1. Надстройка в гомотопических группах сфер (403). 2. Простейшие гомотопические группы сфер (408). 3. Композиционное умножение (412). 4. Информация: гомотопические группы сфер (414). 5. Гомотопические группы проективных пространств и линз (416). 6. Гомотопические группы классических групп (418). 7. Гомотопические группы многообразий и пространств Щтифеля (419). 8. Гомотопические группы многообразий и пространств Грассмана (420). 9. Упражнения (421).
§ 3. Гомотопические группы клеточных пространств 422
1. Гомотопические группы одномерного клеточного пространства (422). 2. Эффект приклеивания шаров (423). 3. Фундаментальная группа клеточного пространства (425). 4. Гомотопические группы компактных поверхностей (428). 5. Гомотопические группы букетов
(430). 6. Гомотопические группы А:-связной клеточной пары (432). 7. Пространство с заданными гомотопическими группами (435). 8. Восемь поучительных примеров (436). 9. Упражнения (438). § 4. Слабая гомотопическая эквивалентность 439
1. Основные понятия (439). 2. Отношение к конструкциям (444). 3.
Клеточная аппроксимация топологического пространства (448). 4. Упражнения (453). § 5. Умножение Уайтхеда : 454
1. Класс wd (m, n) (454). 2. Определение и простейшие свойства произведения Уайтхеда (457). 3. Применения (459). 4. Упражнения (461 ).
§ 6. Продолжение теории расслоений 461
1. Слабая гомотопическая эквивалентность и расслоения Стинрода(461). 2. Теория накрытий (463). 3. Ориентации (472). 4. Некоторые расслоения над сферами (474). 5. Упражнения (475). Цитированная литература 478
Указатель терминов 479
Указатель обозначений 486
