Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Изд. 3-е , переаб. - М.-Л., ГИТТЛ, 1950. - 428 с.
Книга включает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственных кривых и применении к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений линейчатых и развертывающихся поверхностей и внутренней геометрии поверхностей.
Рекомендуется математикам и механикам - студентам, аспирантам и научным работникам. Может служить в качестве учебного пособия.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к 3-му изданию......................................7
Введение ......................................................9
Глава I. Первоначальные сведения о кривых на плоскости. . . 11
§ 1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой..........11
§ 2. Строение кривой вблизи обыкновенной точки..... 14
§ 3. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Декартовы
координаты ..........................................19
§ 4. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Параметрическое представление..............................25
§ 5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Полярные
координаты ..........................................27
§ 6. Строение кривой вблизи особых точек. Основные
факты....................................................32
§ 7*. Строение кривой вблизи особых точек. Точная теория . . 38
§ 8. Огибающая семейства кривых..........................51
§ 9*. Семейство кривых вблизи данной точкк ..............59
§ 10. Асимптоты ................................64
§ 11*. Асимптота как предельное положение касательной . . 67
§ 12. Асимптоты алгебраических кривых......................69
Глава II. Дифференцирование вектор-функций и его простейшие
применения к теории кривых........................73
§ 13. Определение производной и техника дифференцирования . ....................................................73
§ 14. Истолкование вектор-функции как радиус-вектора кривой
в параметрическом представлении......................79
§ 15. Достаточный признак обыкновенной точки..............81
§ 16. Геометрический смысл дифференцирования вектор-функ-
ции......................................................82
§ 17. Дифференциал вектор-функции..............86
§ 18. Две леммы............................................87
§ 19. Ряд Тейлора для вектор-функции......................89
§ 20. Строение параметрически заданной кривой в окрестности
произвольной точки....................................92
§ 21. Длина дуги как параметр..............................96
§ 22. Касание кривых......................................102
§ 23*. Дополнительные сведения по теории касания кривых . . 107
Глава III. Теория кривизны плоских кривых....................115
§ 24. Соприкасающаяся окружность..........................115
§ 25. Построение соприкасающейся окружности предельным
переходом............................................123
§ 26. Кривизна ............................................125
§ 27. Векторы t, n..........................................128
§ 28. Формулы Френе......................................130
§ 29. Эволюта..............................................133
§ 30. Эвольвента............................................138
§ 31. Натуральное уравнение кривой........................141
Глава IV. Теория кривизны пространственных кривых..........149
§ 32. Касательные; нормали................................149
§ 33*. Касание кривой с поверхностью.................156
§ 34. Точки распрямления..................................160
§ 35. Соприкасающаяся плоскость ..............................162
§ 36. Сопровождающий трехгранник........................165
§ 37. Две леммы об окружности..............................169
§ 38. Соприкасающаяся окружность........................172
§ 39. Кривизна пространственной кривой....................174
§ 40. Формулы Френе. Кручение............................'176
§ 41. Вычислительные формулы для кривизны и кручения . . 183
§ 42. Строение кривой вблизи обыкновенной точки..........192
§ 43*. Соприкасающаяся сфера..............................198
§ 44. Натуральные уравнения..............................204
Глава V. Первоначальные сведения по теории поверхностей. . . 217
§ 45. Криволинейные координаты на поверхности............217
§ 46. Кривые на поверхности..............................222
§ 47. Первая основная квадратичная форма................226
§ 48. Вторая основная квадратичная форма....................235
§ 49. Основная формула для кривизны кривой на поверхиости 239
§ 50. Теорема Менье ......................................240
§ 51. Линейная вектор-функция на плоскости..............245
§ 52. Собственные направления и собственные значения . . . 247
§ 53. Основная вектор-функция и главные направления . . . 251
§ 54. Исследование кривизны нормальных сечений............253
§ 55. Формула Эйлера. Главные кривизны..................256
§ 56. Вычисление главных кривизн и главных направлений 259
§ 57. Три типа точек на поверхности..........................262
§ 58. Вычислительные формулы............................268
§ 59. Линии кривизны......................................271
§ 60. Асимптотические линии..............................276
§ 61. Третья основная квадратичная форма. Сопряженные направления ................................................283
§ 62*. Зависимость между тремя основными квадратичными
формами.......................................287
§ 63. Сферическое отображение поверхности..................288
Глава VI. Линейчатые и развертывающиеся поверхности.... 294
§ 64. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях ..................................................294
§ 65. Горловая точка........................................298
§ 66. Горловая линия. Строение развертывающейся поверхности ..........................................301
§ 67*. Параметр распределения..............................307
§ 68. Огибающая семейства поверхностей от одного параметра 310
§ 69. Развертывающаяся поверхность кап огибающая семейства
плоскостей............................................315
§ 70*. Ребро возврата огибающей семейства плоскостей .... 316
§ 71*. Асимптотические линии и полная кривизна линейчатой
поверхности............................................321
§ 72. Развертывающиеся поверхности как поверхности нулевой
полной кривизны........................................324
§ 73*. Ортогональные траектории развертывающихся поверхностей ................................................326
§ 74. Геометрические свойства линий кривизны..............332
§ 75*. Сопряженные сети на поверхности....................336
Глава VII. Внутренняя геометрия поверхности..................341
§ 76. Понятие об изгибании................................341
§ 77. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности .... 342
§ 78. Индексные обозначения................................343
§ 79. Деривационные формулы первой группы................345
§ 80*. Деривационные формулы второй группы..............349
§ 81*. Роль второй квадратичной формы....................351
§ 82. Теорема Гаусса ......................................355
§ 83*. Формулы Петерсона-Кодацци..........................358
§ 84*. Векторы на поверхности..............................361
§ 85*. Градиент скалярного поля на поверхности..............363
S 86*. Параллельное перенесение векторов на поверхности ..... 366
§ 87*. Свойства параллельного перенесения....................369
§ 88. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности ..............................................374
§ 89. Вычисление геодезической кривизны.............376
§ 90. Геодезические линии на поверхности..................379
§ 91*. Геодезические линии с точки зрения параллельного перенесения на поверхности..................................383
§ 92*. Полугеодезическая система координат на поверхности ., 383
§ 93*. Экстремальное свойство геодезических ......387
§ 94*. Об изгибании поверхностей непостоянной кривизны . . 391
§ 9.5*. Случай поверхностей, изгибаемых в поверхности вращения 397
§ 96*. Об изгибании поверхностей постоянной полной кривизны 403
§ 97*. Поверхности вращения постоянной кривизны^..........407
§ 98*. Обнесение вектора по замкнутому контуру ...........413
Краткие исторические сведения......................................422
