Сегё Г. Ортогональные многочлены. Пер. с англ. М., Гл. изд. физ-мат. лит-ры, 1962. - 500 с.
Теория так называемых «классических ортогональных многочленов» (Якоби, Лагерра и Эрмита) была детально разработана еще до Г. Сегё; однако именно Г. Сегё значительно способствовал дальнейшему развитию общей теории и создал принципиально новый метод исследования.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу......................................9
Из предисловия автора к первому изданию..............................И
Из предисловия автора к пересмотренному изданию......................14
Глава I. Предварительные сведения..................................15
1.1. Обозначения..................................................15
1.11. Неравенства.................................16
1.12. Алгебраические и тригонометрические многочлены..............17
1.2. Представление неотрицательных тригонометрических многочленов ..........................................................18
1.21. Теорема Люкача относительно неотрицательных многочленов . . 18
1.22. Теоремы С. Н. Бернштейна..................................19
1.3. Приближение многочленами ..................................20
1.4. Ортогональность; весовая функция; векторы в функциональном пространстве ................................................22
1.5. Замкнутость; интегральные приближения....................24
1.6. Линейные функционалы......................................26
1.7. Гамма-функция ..............................................28
1.71. Функции Бесселя...... . ...........................29
1.8. Дифференциальные уравнения................................31
1.81. Функция Эйри ..............................................32
1.82. Теоремы типа теорем Штурма..................................33
1.9. Одно элементарное конформное отображение....................34
1.91. Принцип аргумента; теорема Руше; последовательности аналитических функций............................................35
Глава II. Определение ортогональных многочленов. Основные примеры 36
2.1. Ортогональность..............................................36
2.2. Ортогональные многочлены....................................38
2.3. Дальнейшие .замечания....................................41
2.4. Классические ортогональные многочлены..................42
2.5. Формула Кристоффеля........................................42
2.6. Класс многочленов, рассмотренный С. П. Бершнтейном и Г. Сегё 44
2.7. Многочлены Стилтьеса—Вигерта .....................46
2.8. Распределения стилтьесовского типа; аналог многочленов Лежандра 46
2.81. Многочлены Пуассона—Шарлье ..............................47
2.82. Многочлены Кравчука........................................48
2.9. Дальнейшие специальные случаи..............................50
Глава III. Общие свойства ортогональных многочленов................51
3.1. Экстремальные свойства; замкнутость..........................51
3.11. Обобщения ..................................................54
3.2. Рекуррентная формула; формула Кристоффеля—Дарбу..........55
3.3. Элементарные свойства нулей................. 57
3.4. Механическая квадратура Гаусса—Якоби......................60
3.41. Теорема Чебышева—Маркова—Стилтьеса о взаимном разделении 62
3.411. Первое доказательство теоремы о взаимном разделении ... 63
3.412. Второе доказательство теоремы о взаимном разделении .... 64
3.413. Третье доказательство теоремы о взаимном разделении .... 65
3.42. Другая теорема о взаимном разделении........................65
3.5. Непрерывные дроби........................................66
Глава IV. Многочлены Якоби..........................................70
4.1. Определение; обозначение; частные случаи......................70
4.2. Дифференциальное уравнение..................................73
4.21. Гипергеометрические функции................................74
4.22. Обобщение ..................................................75
4.23. Второе ріеіпение..............................................77
4.24. Преобразование дифференциального уравнения..................79
4.3. Формула Родрига. Ортонормальная последовательность..........79
4.4. Производящая функция ......................................80
4.5. Рекуррентная формула........................................82
4.6. Интегральные представления в общем случае..................84
4.61. Приложения; функции второго рода............................85
4.62. Дальнейшие свойства функций второго рода....................88
4.7. Ультрасферические многочлены................................91
4.8. Интегральные представления многочленов Лежандра............97
4.81. Функции Лежандра второго рода..............................100
4.82. Обобщения ..................................................101
4.9. Тригонометрические представления............................102
4.10. Дальнейшие свойства многочленов Якоби......................107
Глава V. Многочлены Лагерра и Эрмита................................109
5.1. Элементарные свойства многочленов Лагерра..................109
5.2. Обобщение ..................................................111
5.3. Вырожденный гипергеометрический ряд. Соотношение между многочленами Якоби и Лагерра. Второе решение................112
5.4. Интегральные представления..................................112
5.5. Многочлены Эрмита..........................................114
5.6. Связь между многочленами Эрмита и Лагерра..................115
5.7. Замкнутость..................................................116
Глава VI. Нули ортогональных многочленов............................120
6.1. Плотность нулей..............................................120
6.11. Расстояние между последовательными нулями..................121
6.12. Изменение нулей в зависимости от параметра..................124
6.2. Распределение нулей классических многочленов................126
6.21. Неравенства для нулей классических многочленов..............129
6.22. Доказательство монотонного изменения нулей классических многочленов, данное Стилтьесом..................................131
6.3. Метод Штурма; многочлены Якоби............................133
6.31. Метод Штурма; многочлены Лагерра и Эрмита..................136
6.32. Метод Штурма; наибольшие нули многочленов Лагерра и Эрмита 140
6.4. Теорема Полна и Сегё о тригонометрических многочленах с монотонными коэффициентами......................................143
6.5. Обобщение многочленов Лежандра, данное Фейером............144
6.6. Резюме; дополнительные замечания об ультрасферических многочленах ......................................................147
6.7. Электростатическая интерпретация нулей классических многочленов ......................................................148
6.71. Дискриминанты классических многочленов....................151
6.72. Распределение нулей обобщенных многочленов Якоби..........153
6.73. Распределение нулей обобщенных многочленов Лагерра .... 157
6.8. Многочлены, которые удовлетворяют линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка. Теорема Гейне— Стилтьеса........................158
6.81. Предварительные замечания..................................^59
6.82. Задача на максимум............................................160
6.83. Единственность ..............................................161
6.9. Нули функций Лежандра второго рода; обобщение............162
6.10. Дальнейшие результаты......................................164
Глава VII. Неравенства................................................166
7.1. Грубые границы для ортогональных многочленов ....... 166
7.2. Монотонные весовые функции ................................170
7.21. Применения..................................................171
7.3. Многочлены Лежандра.................................171
7.31. Теорема Сонина. Функции Бесселя ..........................173
7.32. Многочлены Якоби ..........................................175
7.33. Ультрасферические многочлены ..............................178
7.34. Оценки интегралов, содержащих многочлены Якоби..........180
7.4. Обобщение многочленов Лежандра, данное Фейером..........181
7.5. Резюме....................................................183
7.6. Многочлены Лагерра и Эрмита..............................184
7.7. Теорема Люкача..............................................186
7.71. Обобщения; применения......................................189
7.72. Задача Чебышева....................................194
7.8. Дальнейшие результаты......................................197
Глава VIII. Асимптотические свойства классических многочленов .... 199
8.1. Формулы типа формул Мел ера—Гейне........................200
8.21. Асимптотические формулы для многочленов Лежандра и Якоби 202
8.22. Асимптотические формулы для многочленов Лагерра и Эрмита 206
8.23. Замечания по поводу предыдущих результатов................209
8.3. «Элементарное» доказательство формул Лапласа—Гейне и Лапласа 211
8.4. Формула Дарбу, доказанная методом Дарбу..................214
8.5. Доказательство формулы Стилтьеса..........................217
8.61. Метод Лиувилля — Стеклова; формула Лапласа ....... . 218
8.62. Метод Лиувилля—Стеклова; формула Хильба..................220
8.63. Метод Лиувилля — Стеклова; распространение формулы Хильба
на многочлены Якоби........................................222
8.64. Метод Лиувилля — Стеклова; асимптотическая формула (типа формулы Хильба) для многочленов Лагерра..................224
8.65. Метод Лиувилля — Стеклова; многочлены Эрмита.............226
8.66. Применение к многочленам Лагерра..........................228
8.71. Метод перевала; многочлены Лежандра и связанные с ними функции......................................................229
8.72. Метод перевала; формула Перрона для многочленов Лагерра . . 234
8.73. Метод перевала; многочлены Лагерра при. . . 235
8.74. Метод перевала; многочлены Лагерра при . . . 239
8.75. Метод перевала; многочлены Лагерра при .... 241
8.8. Дифференцирование некоторых асимптотических формул .... 244
8.9. Применения; асимптотические свойства нулей многочленов Якоби
и Лежандра..................................................246
8.91. Применения: асимптотические свойства максимумов многочленов Лагерра и Эрмита............................................248
8.92. Дальнейшие результаты......................................251
Глава IX. Разложение в ряды по классическим многочленам..............252
9.1. Результаты ..................................................253
9.11. Замечания..................................................256
9.2. Разложение аналитической функции в ряды по многочленам Якоби, Лагерра и Эрмита..............................................260
9.3. Доказательство теоремы 9.1.2..................................261
9.4. Доказательство теоремы 9.1.3; предварительные формулы . . . 265
9.41. Продолжение; «константы Лебега» порядка к..................266
9.42. Доказательство теоремы 9.1.4..................................270
9.5. Доказательства теорем 9.1.5 и 9.1.6............................274
9.6. Доказательство теоремы 9.1.7................................280
Глава X. Представление положительных функций........................283
10.1. Теоремы Фату..............................................283
10.2. Обобщение представления Фейера............................284
10.3. Дальнейшее изучение представления положительных функций 286
10.4. «Локальные» свойства представления положительных функций . 289
Глава XI. Многочлены, ортогональные на единичной окружности .... 295
11.1. Определение. Предварительные сведения......................295
11.2. Пример....................................................297
11.3. Задача о максимуме..........................................298
11.4. Алгебраические свойства....................................300
11.5. Связь с многочленами, ортогональными на отрезке вещественной
оси........................................................301
Глава XII. Асимптотические свойства общих ортогональных многочленов 304
12.1. Результаты..................................................304
12.2. Замечания....................................................306
12.3. Доказательство теоремы 12.1.1; применения....................308
12.4. Доказательство теоремы 12.1.3................................311
12.5. Асимптотические формулы для многочленов на конечном отрезке; доказательство теорем 12.1.2 и 12.1.4..........................312
12.6. Асимптотическая задача при «локальных» условиях; доказательство теорем 12.1.5 и 12.1.6................................313
12.7. Применения..................................................317
Глава XIII. Разложение в ряды по общим ортогональным многочленам 321
13.1. Результаты и замечания......................................321
13.2. Задача о максимуме на единичной окружности..................323
13.3. Доказательство теоремы 13.1.1..................................324
13.4. Частный случай теоремы 13.1.2..................................325
13.5. Вспомогательные предложения для доказательства теоремы 13.1.2 328
13.6. Доказательство теоремы 13.1.2 ..............................329
13.7. Доказательство теоремы 13.1.3................................330
13.8. Доказательство теоремы 13.1.4................................332
Глава XIV. Интерполирование............................335
14.1. Определения. Задачи..........................................335
14.2. Фундаментальные многочлены интерполирования по способу Лагранжа....................................................338
14.3. Сходимость в среднем многочленов Лагранжа ..................339
14.4. Многочлены Лагранжа для узлов Якоби................341
14.5. Предварительное исследование ^-многочленов в классических случаях......................................................341
14.6. S-многочлены и интерполяционные многочлены Эрмита для узлов Якоби......................................................345
14.7. S-многочлены для узлов Лагерра . . .......................349
14.8. Многочлены Лагранжа для некоторых общих классов узлов интерполирования ........351
14.9. Дальнейшие результаты по теории интерполирования..........352
Глава XV. Механические квадратуры..................................352
15.1. Определения..................................................354
15.2. Общая теорема о сходимости механических квадратур. Теорема Стеклова — Фейера............................................355
15.3. Коэффициенты Котеса — Кристоффеля в случае и(х) = а(х) (квадратура Гаусса — Якоби) для классических абсцисс..............357
15.4. Квадратура интерполяционного типа в случае u(х) = х для абсцисс Якоби........................................................359
15.5. Другой метод для случая ультрасферических многочленов . . . 364
Глава XVI. Многочлены, ортогональные на произвольной кривой .... 369
16.1. Предварительные сведения; определения........................369
16.2. Формальные свойства........................................371
16.3. Асимптотическое поведение Кп(х0,х) внутри кривой С..........373
16.4. Асимптотическое поведение Рп(х) вне кривой С..................375
16.5. Асимптотическое поведение Рп(х) на кривой С..................378
Задачи и упражнения......................................................380
Добавление. Особый случай ортогональных многочленов....................394
1. Определения и формальные свойства...........................394
2. Обобщение............................................................395
3. Интегральные представления..........................................395
4. Бесконечный промежуток..............................................396
5. Асимптотические свойства.................................396
6. Ассоциированные ортогональные многочлены............................397
Цитированная литература................................................401
Дополнения (Я. Л. Геронимус)............................................414
Глава I. Предварительные сведения..................................414
Глава II. Определение ортогональных многочленов. Основные примеры 416
Глава III. Общие свойства ортогональных многочленов..................420
Глава IV. Многочлены Якоби..........................................431
Глава V. Многочлены Лагерра и Эрмита..............................436
Глава VI. Нули ортогональных многочленов............................443
Глава VII. Неравенства................................................452
Глава VIII. Асимптотические свойства классических многочленов .... 455
Глава IX. Разложение в ряды по классическим многочленам ..........456
Глава X. Представление положительных функций....................459
Глава XI. Многочлены, ортогональные на единичной окружности .... 462
Глава XII. Асимптотические свойства общих ортогональных многочленов 466
Глава XIII. Разложение в ряды по общим ортогональным многочленам 474
Глава XIV. Интерполирование........................................479
Глава XV. Механические квадратуры..................................482
Глава XVI. Многочлены, ортогональные на произвольной кривой .... 487
Литература к дополнениям................................................491
Алфавитный указатель....................................................495
