Старинец В.В. Обобщенно-классические ортогональные многочлены

Старинец В.В. Обобщенно-классические ортогональные многочлены. — М., 2000 — 462 с.
В монографии исследуются функциональные гильбертовы пространства с индефинитной метрикой, изучаются так называемые обобщенно-классические ортогональные многочлены, проводится спектральный анализ самосопряженных относительно индефинитной метрики разностных и некоторых других операторов, непосредственно связанных с обобщенно-классическими ортогональными многочленами.
Для научных работников, аспирантов, студентов, специализирующихся в области функционального анализа, математической физики.
Оглавление
Предисловие........................................................9
I Обобщенно-классические ортогональные многочлены 11
1 Функциональные гильбертовы пространства с индефинитной метрикой 13
1.1 Оператор Гильберта ..........................................14
1.2 П-пространство последовательностей ......................24
1.3 G-пространства аналитических функций..................27
1.4 Функциональные П-пространства............................29
1.5 Регуляризующий множитель ................................44
2 J-ортогональные многочлены 49
2.1 Ортогональные многочлены. Обобщение....................49
2.2 Регуляризация весовой функции в конечной критической точке............................................................52
2.3 Регуляризация в критической точке на бесконечности . 58
2.4 Индефинитное скалярное произведение....................64
2.5 Ортогональные многочлены в случае отсутствия вырождения ............................ . 67
2.6 Ортогональные многочлены в случае вырождения .... 69
2.7 Рекуррентные соотношения..................................70
2.8 Канонические рекуррентные соотношения..................75
2.9 Формула Кристофеля-Дарбу................................79
2.10 Весовые функции первого класса............................80
2.11 Весовые функции второго класса............................83
3 Общие свойства многочленов первого класса 87
3.1 Ортогональность производных..............................87
3.2 Корреляция размерностей блоков кососвязанности ... 92
3.3 Оценки моментных последовательностей..................97
3.4 Серии систем многочленов....................................99
3.5 Структура матриц перехода между соседними системами серии............................................................101
3.6 Дифференциальные уравнения..............................108
3.7 Общий вид дифференциальных уравнений................114
3.8 Корневые многочлены........................................118
3.9 Обобщенная формула Родрига ..............................129
3.10 Производящая функция......................................132
3.11 Заключение ...................................................133
4 Частные свойства многочленов первого класса 135
4.1 Многочлены типа 1.1. Обобщенные многочлены Бесселя 135
4.2 Тип 1.2.1. Смещенные обобщенные многочлены Якоби для ........143
4.3 Тип 1.2.1. Смещенные обобщенные многочлены Якоби для .........150
4.4 Тип 1.2.1. Несмещенные обобщенные многочлены Якоби............157
4.5 Тип 1.2.1. Несмещенные обобщенные многочлены Якоби для... . . 161
4.6 Многочлены типа 1.2.2........................................164
4.7 Многочлены типа 1.3..........................................171
4.8 Многочлены типа 1.4. Обобщенные многочлены Лaгeppa 186
4.9 Многочлены типа 1.5. Многочлены Эрмита................191
5 Общие свойства многочленов второго класса 196
5.1 Ортогональность производных..................196
5.2 Корреляция размерностей блоков кососвязанности . . . 200
5.3 Оценки моментных последовательностей.........204
5.4 Серии систем многочленов....................................205
5.5 Структура матриц перехода между соседними системами серии............................................................207
5.6 Дифференциальные уравнения..............................211
5.7 Общий вид дифференциальных уравнений........215
5.8 Корневые многочлены........................................217
5.9 Обобщенная формула Родрига..............................223
5.10 Производящая функция......................................225
5.11 Заключение ....................................................226
6 Частные свойства многочленов второго класса 228
6.1 Многочлены типа 2.1.....................228
6.2 Тип 2.2.1. Обобщенные многочлены Гегенбауэра для .....................233
6.3 Тип 2.2.1. Обобщенные многочлены Гегенбауэра для .......................239
6.4 Многочлены типа 2.2.2....................249
6.5 Многочлены типа 2.3.....................256
6.6 Тип 2.4. Обобщенные многочлены Эрмита........262
II Разностные П-самосопряженные операторы 269
7 Разностный оператор Эрмита 271
7.1 Пространство Крейна.....................272
7.2 Пространство Понтрягина..................280
7.3 Обобщенные функции Эрмита.....................282
7.4 Оснащенное пространство Понтрягина . ...................286
7.5 Пространство П основных функций............288
7.6 Пространство П' обобщенных функций, б-функция . . . 291
7.7 Обобщенное преобразование Фурье в оснащенном пространстве Понтрягина....................294
7.8 Оператор умножения Q на независимую переменную . . 297
7.9 Разностный оператор А Эрмита в П-пространстве .... 300
7.10 Дифференциальный оператор Р в П-пространстве .... 303
7.11 Разностный оператор В в пространстве Понтрягина . . . 306
7.12 Связь между операторами Q, А, Р, В...........307
7.13 Оснащенное пространство Крейна.............309
7.14 Пространство К основных и К' обобщенных функций. 5-функция......................................................310
7.15 Оператор Qa умножения на независимую переменную в пространстве К0................................................313
7.16 Разностный оператор Аа в крейновом пространстве /С0 . 315
7.17 Операторы Ва и Ра в пространствах Крейна /С0 и KQ . . 317
7.18 Разложение единицы в пространстве Крейна.......319
7.19 Спектральные разложения для операторов в пространствах Крейна....................................................321
7.20 Разложение единицы в пространстве Понтрягина .... 323
7.21 Спектральные разложения для операторов в пространстве Понтрягина................................................327
8 Разностный оператор Лareppa 329
8.1 Пространство Крейна..........................................329
8.2 Пространство Понтрягина..................332
8.3 Обобщенные полиномы Лareppa............................333
8.4 П-самосопряженный оператор А ............................334
8.5 Пространства основных и обобщенных функций.....335
8.6 Обобщенное преобразование Ганкеля в оснащенном П-пространстве.......337
8.7 Оператор умножения на независимую переменную в П0 339
8.8 Разностный оператор Лareppa А в пространстве Понтрягина Р0.............340
8.9 Дифференциальный оператор Р в пространстве Понтрягина ..............342
8.10 Разностный оператор В в пространстве Понтрягина Р0 . 343
8.11 Связь между операторами Q, А, Р, В...........344
8.12 Операторы в пространствах Крейна . . 346
8.13 Спектральные разложения операторов в пространствах Крейна.............................350
8.14 Разложение единицы в пространстве Понтряшна .... 353
8.15 Спектральные разложения операторов в пространстве Понтрягина...........................356
9 Разностный оператор Гегенбауэра 1 358
9.1 Пространство Крейна К0...................358
9.2 Пространство Понтрягина П0................364
9.3 Обобщенные полиномы Гегенбауэра............366
9.4 Оснащенное пространство Понтрягина......................369
9.5 Пространство П основных функций............370
9.6 Пространство обобщенных функций, дельта-функция.....374
9.7 Оператор умножения на независимую переменную в пи-пространстве ..... 376
9.8 Разностный оператор Гегенбауэра А в пространстве Понтрягина V0.........378
9.9 Пространство основных К и обобщенных К' функций. дельта-функция......................380
9.10 Оператор Qa умножения на независимую переменную в пространстве К0 .......................382
9.11 Разностный оператор Аа в пространстве К0 .......383
9.12 Разложение единицы в пространстве Крейна.......385
9.13 Спектральные разложения для операторов в пространствах Крейна..........................387
9.14 Разложение единицы в пространстве Понтрягина ..........388
9.15 Спектральные разложения операторов Q и А в пространствах Понтрягина..............................................391
9.16 Случай вырождения.....................392
9.17 Разностный оператор и спектральные разложения при вырождении....................................................396
9.18 Общий случай а Є R \ Z..................401
9.19 Общий случай без вырождения..............................404
9.20 Пространство основных и обобщенных функций.....410
9.21 Оператор Q умножения на независимую переменную . . 413
9.22 Разностный оператор А в общем невырожденном случае 416
9.23 Разложение единицы в пи-пространстве в общем случае
без вырождения........................418
9.24 Спектральные разложения для операторов в общем случае без вырождения......................421
9.25 Случай вырождения в общем варианте ...........................423
10 Разностный оператор Якоби 424
10.1 Пространство Крейна К0...................424
10.2 Невырожденный случай ..........426
10.3 Смещенные обобщенные многочлены Якоби........428
10.4 Пространства основных и обобщенных функций.....430
10.5 Оператор умножения на независимую переменную в пи-пространстве..........................433
10.6 Разностный оператор А в пространстве Понтрягина V0 . 435
10.7 Оператор Qa умножения на независимую переменную в пространстве К0........................437
10.8 Разностный оператор в пространстве Крейна.......439
10.9 Спектральные разложения для операторов в пространствах Крейна..........................441
10.10 Разложение единицы в пространстве Понтрягина .... 443
10.11 Спектральные разложения для операторов Q и А в 7г-пространствах.........................446
10.12 Оснащенное пространство в случае вырождения.....447
10.13 Разностный оператор А в случае вырождения......449
10.14 Несмещенные обобщенные полиномы Якоби.......454
10.15 Спектральные разложения, отвечающие несмещенным полиномам..........................455
Литература.............................459