Суетин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1988.— 384 с.
Излагаются основные свойства ортогональных многочленов по двум действительным переменным и свойства рядов Фурье по этим многочленам Рассматриваются различные двумерные аналоги и обобщения классических ортогональных многочленов одного переменного, являющиеся собственными функциями линейных дифференциальных операторов в частных производных второго порядка. Приводятся известные классические результаты, а также новые свойства ортогональных многочленов двух переменных.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся по математическому анализу, вычислительной и прикладной математике.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............. 6
Основные обозначения...........13
Глава I. Общие свойства ортогональных по области многочленов ...........15
§ 1. Ортогональные по области многочлены
двух переменных.......15
§ 2. Теорема существования и критерии ортогональности .........21
§ 3. Алгебраические свойства..... 26
§ 4. Монические ортогональные многочлены . 36
§ 5. Нормальные биортогональные системы . . 43
§ 6. Ряды Фурье по ортогональным многочленам двух переменных......48
Глава II. Некоторые характерные примеры и частные
случаи ортогональности по области .... 53
§ 1. Различные произведения классических ортогональных многочленов.....53
§ 2. Разные случаи связи ортогональности по области с ортогональностью по интервалу 58
§ 3. Некоторые теоремы в случае весовой функции с разделяющимися переменными . . 65
§ 4. Условия взаимосвязи весовой функции и области ортогональности.....70
§ 5. Конкретные примеры вычисления моментов весовой функции......75
Глава III. Классические ортогональные многочлены Аппеля............81
§ 1. Формула Родрига для многочленов Аппеля 81
§ 2. Представление многочленов Аппеля через гипергеометрическую функцию двух переменных ..........88
§ 3. Дифференциальное уравнение для многочленов Аппеля........93
§ 4. Ортогональность собственных функций уравнения Аппеля.......97
§ 5. Нормальная биортогональная система Аппеля ...........102
§ 6. Ряды по многочленам Аппеля . . . 106
Глава IV. Допустимое дифференциальное уравнение для ортогональных по области многочленов . . 110
§ 1. Осповной дифференциальный оператор и теорема об ортогональности .... 110
§ 2. Условия допустимости основного дифференциального уравнения.....116
§ 3. Некоторые примеры и свойства допустимых дифференциальных уравнений . . 123
§ 4. Аффинные преобразования аргументов основного дифференциального уравнения . 127
§ 5. Преобразование коэффициентов характеристического многочлена......132
§ 6. Нормальные формы допустимого дифференциального уравнения......144
§ 7. Нормальные формы при понижении порядка характеристического многочлена . 153
Глава V. Потенциально самосопряженное уравнение и формула Родрига.........161
§ 1. Потенциально самосопряженные операторы ...........161
§ 2. Допустимые и потенциально самосопряженные уравнения.......166
§ 3. Формула Родрига для ортогональных по области многочленов......178
§ 4. Весовые функции и формула Родрига в наиболее характерных случаях . . . 186
Глава VI. Ортогональные по области гармонические многочлены ...........196
§ 1. Однородные гармонические многочлены 196
§ 2. Аналог формулы Кристоффеля — Дарбу 203
§ 3. Ортогональные в единичном круге гармонические многочлены......208
§ 4. Ортогональные по области гармонические многочлены в общем случае .... 212
§ 5. Суперортогональные по области гармонические многочлены.......216
Глава VII. Ортогональные по контуру многочлены двух переменных.......... . 224
§ 1. Основные определения и простейшие свойства .......... 224
§ 2. Ортогональные на алгебраической кривой многочлены по двум переменным . . . 228
§ 3. Ортогональные по контуру гармонические многочлены.........234
§ 4. Ряды Фурье по ортогональным по контуру гармоническим многочленам . . . 239
§ 5. Суперортогональные по контуру гармонические многочлены.......246
§ 6. Условия одновременной ортогональности гармонических многочленов по области и по ее границе........255
Глава VIII. Обобщенные ортогональные многочлены двух переменных..........264
§ 1. Основные определения и простейшие свойства ...........264
§ 2. Теорема существования в наиболее общем виде...........270
§ 3. Ряды Фурье по обобщенным ортогональным многочленам двух переменных . . 277
§ 4. Монические ортогональные многочлены при минимальных условиях .... 285
§ 5. Обобщенные производящие функции для ионических ортогональных многочленов .. . 293
Глава IX. Дальнейшие результаты о связи ортогональных многочленов с дифференциальными уравнениями .............300
§ 1. Каноническое допустимое дифференциальное уравнение и монические ортогональные
многочлены.........300
§ 2. Необходимые условия согласованности канонического оператора и функционала . . 305
§ 3. Достаточные условия согласованности канонического оператора и функционала 310
§ 4. Вывод дифференциального уравнения из системы уравнений Пирсона . . . . 317
§ 5. Допустимое дифференциальное уравнение в частных производных произвольного порядка ...........326
Глава X. Некоторые дополнительные вопросы . . . 335
§ 1. Примеры представления ортогональных по области многочленов через многочлены Якоби...........335
§ 2. Ортогональные многочлены по двум сопряженным комплексным переменным . . 342
§ 3. Многочлены Чебышева по двум сопряженным комплексным переменным для области Штейнера........348
§ 4. Еще одно обобщение многочленов Якоби на случай двух переменных .... 362
§ 5. Несколько замечаний о рядах Фурье по ортогональным многочленам двух переменных ...........366
Комментарии и дополнения......... 370
Список литературы............377
