Воеводин В. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. - СПб., 2006. — 544 с: ил.
Учебно-методический комплекс по линейной алгебре представляет собой книгу, компакт-диск и интернет-версию. Его особенностью является объединение традиционной, электронной и дистанционной форм образования. Впервые линейная алгебра представлена как семантически структурированная область математики, что, учитывая обширность приведенного материала, позволяет формировать различные по тематике и уровню сложности курсы, обеспечивает быстрый поиск необходимых сведений, а с помощью электронной справочно-поисковой системы, представленной на компакт-диске и в интернет-версии, — визуализацию логических связей между отдельными элементами линейной алгебры. Математическая часть материала построена на использовании матрично-векторного аппарата.
Оглавление
Предисловие...........................................................13
Почему появилась именно эта книга?..............................13
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ............................................................23
1. Множества, элементы, операции.................................25
1.1. Вещественные и комплексные числа......................................25
1.1.1. Вещественные числа.....................................................25
1.1.2. Геометрическое представление комплексных чисел......................26
1.1.3. Алгебраическое представление комплексных чисел......................29
1.1.4. Модуль и сопряжение.......................................................30
1.1.5. Тригонометрическое представление комплексных чисел.......................31
1.1.6. Степени и корни..........................................................32
1.1.7. Общепринятые названия....................................................34
1.2. Множества и элементы..........................................34
1.2.1. Множества и операции над ними..........................................34
1.2.2. Декартово произведение..................................................37
1.3. Эквивалентность и равенство...............................................38
1.3.1. Бинарное отношение.......................................38
1.3.2. Эквивалентность...................................39
1.4. Алгебраические операции и их свойства.....................................41
1.4.1. Алгебраические операции............................................41
1.4.2. Обратные операции................................................................................................43
1.5. Группы.........................................................................................................................46
1.5.1. Общая группа..........................................................................................................46
1.5.2. Подгруппа................................................................................................................48
1.5.3. Смежные классы.....................................................................................................49
1.5.4. Нормальный делитель............................................................................................50
1.5.5. Абелева группа.......................................................................................................52
1.5.6. Конечная группа.....................................................................................................53
1.5.7. Циклическая подгруппа.........................................................................................53
1.6. Кольца и поля..............................................................................................................55
1.6.1. Кольцо......................................................................................................................55
1.6.2. Делители нуля.........................................................................................................57
1.6.3. Поле и числа............................................................................................................57
1.7. Линейные пространства..............................................................................................60
1.7.1. Линейное пространство.........................................................................................60
1.7.2. Подпространство....................................................................................................62
1.7.3. Изоморфные пространства....................................................................................63
1.7.4. Арифметическое пространство.............................................................................66
1.7.5. Естественный базис................................................................................................67
1.7.6. Конечномерные и бесконечномерные пространства.........................................67
2. Система векторов............................................................................................69
2.1. Линейная оболочка и линейная зависимость............................................................69
2.1.1. Линейная комбинация и оболочка........................................................................69
2.1.2. Линейная зависимость и независимость..............................................................70
2.1.3. Представление одних векторов через другие......................................................72
2.1.4. Снова конечномерные и бесконечномерные пространства...............................76
2.2. Эквивалентные системы, ранг, базис........................................................................76
2.2.1. Эквивалентные системы........................................................................................76
2.2.2. База и ранг системы................................................................................................78
2.2.3. Структура арифметического пространства.........................................................80
2.2.4. Структура общего конечномерного пространства.............................................81
2.2.5. Базис и координаты................................................................................................82
3. Матрицы и операторы...................................................................................85
3.1. Конечные суммы и произведения..............................................................................85
3.1.1. Конечные суммы.....................................................................................................85
3.1.2. Конечные произведения.........................................................................................86
3.2. Матрицы и операции над ними..................................................................................87
3.2.1. Матрицы..................................................................................................................87
3.2.2. Операции над матрицами......................................................................................88
3.2.3. Диагональные матрицы.........................................................................................92
3.2.4. Перестановочные матрицы....................................................................................93
3.2.5. Кольца и линейные пространства.........................................................................94
3.2.6. Компактная форма матрицы.................................................................................96
3.3. Транспонирование, сопряжение, след матрицы.......................................................98
3.3.1. Транспонирование и сопряжение матрицы.........................................................98
3.4. Элементарные матрицы и преобразования.............................................................100
3.4.1 Матрицы перестановок.........................................................................................100
3.4.2. Элементарные матрицы масштабирования.......................................................103
3.4.3. Элементарные неунитарные матрицы................................................................104
3.4.4. Элементарные матрицы и преобразования.......................................................104
3.4.5. Эквивалентность и ранг.......................................................................................106
3.4.6. Матрицы типа Nr и Mr..........................................................................................107
3.5. Матрицы специального вида....................................................................................108
3.5.1. Треугольные матрицы..........................................................................................108
3.5.2. Трапециевидные матрицы...................................................................................109
3.5.3. Почти треугольные и ленточные матрицы........................................................109
3.5.4. Профильные матрицы..........................................................................................110
3.5.5. Блочные матрицы.................................................................................................111
3.6. Метод Гаусса.............................................................................................................113
3.6.1. Шаги метода Гаусса.............................................................................................113
3.6.2. Преобразование матрицы к простейшему виду................................................115
3.6.3. Преобразование специальных матриц...............................................................119
3.6.4. Выбор ведущего элемента...................................................................................120
3.7. Операторы.................................................................................................................121
3.7.1. Линейные операторы............................................................................................121
3.7.2. Матрица линейного оператора............................................................................125
3.7.3. Изоморфизм линейных операторов и матриц...................................................126
4. Определители.................................................................................................131
4.1. Определитель и его свойства...................................................................................131
4.1.1. Перестановки.........................................................................................................131
4.1.2. Определитель и его простейшие свойства.........................................................133
4.1.3. Определители некоторых матриц.......................................................................136
4.1.4. Определитель и линейная зависимость..............................................................137
4.1.5. Вычисление определителя...................................................................................138
4.2. Миноры и алгебраические дополнения...................................................................138
4.2.1. Разложение определителя....................................................................................138
4.2.2. Определители некоторых блочных матриц.......................................................142
4.2.3. Определитель произведения матриц..................................................................143
4.3. Ранг матрицы.............................................................................................................146
4.3.1. Ранг и независимость...........................................................................................146
4.3.2. Ранг и ведущие миноры....................................................................................147
4.3.3. Матрицы полного и малого ранга.......................................................................149
4.3.4. Свойства ранга......................................................................................................151
4.4. Невырожденные матрицы........................................................................................153
4.4.1. Невырожденная или неособенная матрица.......................................................153
4.4.2. Обратная матрица.................................................................................................154
4.4.3. Вычисление обратной матрицы..........................................................................157
4.4.4. Модификация обратной матрицы.......................................................................158
4.4.5. Вполне положительные и ассоциированные матрицы.....................................160
4.4.6. Симметричные и кососимметричные матрицы................................................161
5. Расстояния, углы, объемы..........................................................................163
5.1. Скалярное произведение..........................................................................................163
5.1.1. Евклидово и унитарное пространство................................................................163
5.1.2. Свойства скалярного произведения....................................................................164
5.1.3. Матричное представление...................................................................................167
5.2. Ортогональные и биортогональные системы векторов.........................................167
5.2.1. Нормированные и ортогональные векторы.......................................................167
5.2.2. Ортонормированный базис.................................................................................170
5.2.3. Биортонормированные системы и базисы.........................................................172
5.2.4. Изоморфизм пространств со скалярным произведением................................172
5.2.5. Ортогональность и сопряженные матрицы.......................................................174
5.3. Ортогональность на множествах.............................................................................175
5.3.1. Ортогональное дополнение.................................................................................175
5.3.2. Снова биортонормированные системы и базисы.............................................177
5.3.3. Сумма, прямая сумма и пересечение подпространств.....................................178
5.3.4. Ортогональная сумма подпространств..............................................................181
5.4. Измерения в линейном пространстве......................................................................183
5.4.1. Длина и расстояние..............................................................................................183
5.4.2. Угол........................................................................................................................184
5.4.3. Перпендикуляр и проекция.................................................................................186
5.4.4. Объем.....................................................................................................................191
6. Системы линейных алгебраических уравнений.....................................195
6.1. Основные понятия и формы записи........................................................................195
6.1.1. Основные понятия и простейшие факты.........................................................195
6.1.2. Матрично-векторная запись................................................................................196
6.1.3. Эквивалентные системы.......................................................................................197
6.2. Приведение системы к каноническому виду..........................................................197
6.2.1. Метод Гаусса.........................................................................................................197
6.2.2. Каноническая система уравнений.......................................................................199
6.3. Основные факты........................................................................................................200
6.3.1. Теорема Кронекера-Капелли...............................................................................200
6.3.2. Общие свойства решений системы.....................................................................201
6.3.3. Критерии и формулы............................................................................................203
6.4. Альтернатива и теорема Фредгольма......................................................................205
6.4.1. Образ и ядро матрицы..........................................................................................205
6.4.2. Альтернатива и теорема Фредгольма.................................................................207
6.5. Псевдорешение и псевдообратная матрица............................................................209
6.5.1. Нормальное решение...........................................................................................209
6.5.2. Псевдорешение.....................................................................................................210
6.5.3. Нормальное псевдорешение................................................................................211
6.5.4. Псевдообратная матрица.....................................................................................2І2
6.6. Свойства псевдообратной матрицы.........................................................................214
6.6.1. Столбцы и строки матриц А', А*, А+....................................................................214
6.6.2. Свойства минимальности....................................................................................217
6.6.3. Матричное определение А'.................................................................................218
6.6.4. Скелетное разложение и матрица А+..................................................................219
6.6.5. Проекторы.............................................................................................................223
6.6.6. Сопряженные системы уравнений......................................................................224
6.7. Линейные многообразия и линейные системы.......................................................225
6.7.1. Плоскость..............................................................................................................225
6.7.2. Гиперплоскость и прямая....................................................................................226
6.7.3. Геометрическая интерпретация систем уравнений..........................................229
6.8. Матрица и определитель Грама...............................................................................231
6.8.1. Проекция на линейную оболочку.......................................................................231
6.8.2. Матрица и определитель Грама..........................................................................232
6.8.3. Ортогональные системы и определитель Грама...............................................234
7. Многочлены...................................................................................................237
7.1. Многочлены и операции над ними..........................................................................237
7.1.1. Группа многочленов.............................................................................................237
7.1.2. Кольцо многочленов............................................................................................239
7.1.3. Деление многочленов...........................................................................................240
7.2. Основная теорема алгебры.......................................................................................242
7.2.1. Корни многочленов..............................................................................................242
7.2.2. Различные представления многочленов............................................................243
7.2.3. Алгебраически замкнутое поле...........................................................................246
7.2.4. Многочлен как функция.......................................................................................248
7.2.5. Вещественные многочлены.................................................................................252
8. Спектральные свойства матриц................................................................255
8.1. Эквивалентные и подобные матрицы......................................................................255
8.1.1. Преобразование координат.................................................................................255
8.1.2. Эквивалентные матрицы......................................................................................257
8.1.3. Подобные матрицы...............................................................................................259
8.2. Спектр матриц...........................................................................................................260
8.2.1. Собственные значения и собственные векторы................................................260
8.2.2. Характеристический многочлен.........................................................................265
8.2.3. Кратность собственных значений.......................................................................269
8.3. Матрицы простой структуры...................................................................................271
8.3.1. Строение матрицы простой структуры..............................................................271
8.3.2. Свойства матрицы простой структуры..............................................................272
8.3.3. Ортогональность в собственных векторах........................................................275
9. Структура матриц общего вида.................................................................281
9.1. Инвариантные подпространства..............................................................................281
9.1.1. Общие свойства инвариантных подпространств..............................................281
9.1.2. Критерии инвариантных подпространств..........................................................283
9.1.3. Нахождение инвариантных подпространств.....................................................285
9.2. Подобие треугольной и блочно-диагональной матрице........................................286
9.2.1. Вспомогательные утверждения для общего случая.........................................286
9.2.2. Инвариантные подпространства и блочные матрицы......................................287
9.2.3. Вложенные инвариантные подпространства.....................................................290
9.2.4. Подобие треугольной матрице............................................................................292
9.2.5. Подобие блочно-диагональной матрице............................................................294
9.3. Вещественное подобие блочным матрицам...........................................................295
9.3.1. Вспомогательные утверждения для вещественного случая............................295
9.3.2. Вещественное подобие блочно-треугольной матрице.....................................297
9.3.3. Вещественное подобие блочно-диагональной матрице...................................299
9.4. Матричные многочлены...........................................................................................302
9.4.1. Кольцо матричных многочленов........................................................................302
9.4.2. Инвариантные, спектральные и другие свойства.............................................303
9.4.3. Нильпотентная матрица.......................................................................................306
9.4.4. Теорема Гамильтона-Кэли...................................................................................307
9.5. Каноническая форма Жордана.................................................................................309
9.5.1. Многочлены и разложение пространства..........................................................3.09
9.5.2. Корневые векторы................................................................................................311
9.5.3. Высота корневого вектора...................................................................................312
9.5.4. Корневой базис Жордана.....................................................................................314
9.5.5. Каноническая форма Жордана............................................................................316
9.5.6. Некоторые следствия...........................................................................................318
Часть 1
10. Нормальные матрицы...............................................................................321
10.1. Нормальные матрицы общего вида.......................................................................321
10.1.1. Простейшие нормальные матрицы...................................................................321
10.1.2. Собственные векторы нормальной матрицы..................................................322
10.1.3. Инвариантность ортогонального дополнения.................................................324
10.1.4. Нормальные матрицы и многочлены...............................................................326
10.2. Унитарные матрицы и преобразования.................................................................327
10.2.1. Унитарные матрицы...........................................................................................327
10.2.2. Критерии унитарности.......................................................................................328
10.2.3. Унитарные преобразования...............................................................................331
10.2.4. Метрические свойства........................................................................................333
10.2.5. Ортогональные матрицы и преобразования....................................................335
10.3. Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы.....................................................................337
10.3.1. Эрмитовы матрицы............................................................................................337
10.3.2. Критерии эрмитовости.......................................................................................339
10.3.3. Вещественные симметричные матрицы..........................................................340
10.3.4. Косоэрмитовы матрицы.....................................................................................341
10.3.5. Вещественные кососимметричные матрицы.................................................342
10.3.6. Эрмитово разложение матрицы........................................................................343
11. Мультипликативные представления матрицы....................................347
11.1.1. LU-разложение матрицы........................................................................................347
11.1.1. Элементарные преобразования и треугольные матрицы...............................347
11.1.2. LU-разложение общей матрицы.......................................................................349
11.1.3. LU - разложение профильной матрицы.............................................................352
11.1.4. Блочное LU-разложение....................................................................................352
11.1.5. LU-разложение эрмитовой матрицы................................................................355
11.1.6. Перестановки......................................................................................................357
11.1.7. Эквивалентные знаковые утверждения............................................................360
11.2. QR-разложение матрицы........................................................................................362
11.2.1. Матрицы вращения............................................................................................362
11.2.2. Матрицы отражения...........................................................................................364
11.2.3. QR-разложение общей матрицы.......................................................................367
11.3. Сингулярное разложение матрицы........................................................................369
11.3.1. Сингулярные числа матрицы............................................................................369
11.3.2. Сингулярные базисы матрицы..........................................................................370
11.3.3. Сингулярное разложение матрицы...................................................................371
11.3.4. Сингулярное разложение в различных свойствах..........................................372
11.4. Другие представления матрицы.............................................................................375
11.4.1. Полярное разложение матрицы........................................................................375
11.4.2. Полярное разложение в различных свойствах................................................377
11.4.3. Кронекерово произведение матриц..................................................................379
11.4.4. Спектральные свойства кронекерова произведения......................................380
11.4.5. Специальные кронекеровы произведения.......................................................382
12. Билинейные формы....................................................................................385
12.1. Билинейные и эрмитовы билинейные формы......................................................385
12.1.1. Билинейные формы............................................................................................385
12.1.2. Симметричные и кососимметричные билинейные формы...........................386
12.1.3. Эрмитовы билинейные формы.........................................................................388
12.1.4. Симметричные и кососимметричные эрмитовы формы...............................390
12.2. Конгруэнтные преобразования..............................................................................391
12.2.1. Матрица билинейной формы............................................................................391
12.2.2. Зависимость от выбора базиса..........................................................................392
12.2.3. Конгруэнтные матрицы и преобразования......................................................393
12.2.4. Унитарные конгруэнтные преобразования......................................................395
12.2.5. Общие конфуэнтные преобразования.............................................................396
12.2.6. Билинейные формы в паре базисов..................................................................400
12.3. Квадратичные формы.............................................................................................402
12.3.1. Квадратичная и полярная формы.....................................................................402
12.3.2. Эрмитова квадратичная форма.........................................................................403
12.3.3. Матрица квадратичной формы.........................................................................404
12.3.4. Матрица эрмитовой квадратичной формы......................................................405
12.3.5. Представления через скалярные произведения..............................................406
12.4. Закон инерции квадратичных форм......................................................................408
12.4.1. Главные оси и канонические базисы................................................................408
12.4.2. Закон инерции квадратичных форм.................................................................410
12.4.3. Общий базис пары квадратичных форм..........................................................412
12.5. Знакоопределенные матрицы.................................................................................413
12.5.1. Общие свойства знакоопределенных матриц.................................................413
12.5.2. Спектральные свойства знакоопределенных матриц.....................................416
12.5.3. Сохранение знакоопределенности....................................................................418
12.5.4. Матричные неравенства.....................................................................................420
12.5.5. Квадратный корень из матрицы........................................................................422
12.5.6. Приведение пары эрмитовых матриц...............................................................425
12.5.7. Обобщенная проблема собственных значений...............................................427
12.6. Билинейно метрические пространства..................................................................428
12.6.1. Изотропные векторы..........................................................................................428
12.6.2. Числовые области матриц.................................................................................429
12.6.3. Критерии изотропности.....................................................................................431
12.6.4. Билинейно метрическое пространство.............................................................433
12.6.5. Ортогональность и ортогональное дополнение..............................................434
12.6.6. Свойства матрицы и определителя Грама.......................................................436
12.6.7. Нулевые подпространства.................................................................................438
12.6.8. Невырожденные пространство и подпространство........................................439
12.6.9. Свойства невырожденного подпространства..................................................440
12.7. Ортогональные, псевдоортогональные и другие базисы.....................................443
12.7.1. Ортогональный базис.........................................................................................443
12.7.2. Псевдоортогональный базис.............................................................................446
12.7.3. Двойственные, псевдодвойственные и другие базисы...................................447
12.8. Ортогонализация.....................................................................................................449
12.8.1. Общий процесс псевдоортогонализации.........................................................449
12.8.2. Ортогонализация Грама-Шмидта.....................................................................453
12.8.3. Псевдодвоиственная и двойственная ортогонализация.................................453
12.8.4. Последовательность Крылова и минимальный многочлен...........................456
12.8.5. Трехчленные процессы ортогонализации.......................................................459
13. Векторные и матричные нормы..............................................................465
13.1. Метрическое пространство....................................................................................465
13.1.1. Расстояние и предел...........................................................................................465
13.1.2. Окрестность и замыкание..................................................................................467
13.1.3. Полное пространство.........................................................................................468
13.2. Нормированное пространство...............................................................................470
13.2.1. Норма и метрика.................................................................................................470
13.2.2. Конкретные нормы.............................................................................................472
13.2.3. Свойства нормы..................................................................................................475
13.2.4. Сходимость последовательностей....................................................................475
13.2.5. Полнота нормированных пространств.............................................................479
13.2.6. Свойства нормированных пространств...........................................................480
13.3. Матричные нормы..................................................................................................483
13.3.1. Аддитивная и мультипликативная нормы.......................................................483
13.3.2. Согласованная и подчиненная нормы..............................................................48513.3.3. Конкретные матричные нормы.........................................................................487
13.3.4. Евклидова и спектральная нормы.....................................................................489
ЧАСТЬ II. ЛИНЕАЛ — НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.................................................................................491
14. Сведения о компакт-диске с системой ЛИНЕАЛ.................................493
14.1. Системные требования...........................................................................................493
14.2. Архитектура системы.............................................................................................493
14.3. Порядок работы с энциклопедией.........................................................................493
14.4. Что делать, если что-то не работает......................................................................494
15. Небольшие иллюстрации к руководству по системе ЛИНЕАЛ........497
15.1. Как узнать, оказывает ли статья А влияние на появление статьи В....................497
15.2. Что означают уровни сложности статей...............................................................497
15.3. Как строятся графы связей по параграфам и главам...........................................498
15.4. Как связаны сложности параграфа-предшественника и параграфа-следствия.. 499
15.5. Как ознакомиться с содержанием ссылок.............................................................499
15.6. Какие установить метки у статей...........................................................................500
15.7. Как увидеть содержание статей.............................................................................500
15.8. Какие операции можно проводить с выборками..................................................501
15.9. Как выбрать определения из заданной совокупности статей..............................502
15.10. Как подготовить памятные записи по лекциям..................................................503
15.11. Как установить связи конкретной статьи с другими статьями..........................504
15.12. Что означает красная кнопка в выборке структурного указателя.....................505
15.13. Что является главным в системе ЛИНЕАЛ.........................................................505
16. Примеры использования системы ЛИНЕАЛ........................................507
16.1. Построение расширенного пополнения................................................................507
16.2. Составление цикла лекций на заданную тему......................................................508
16.3. Определение узких мест цикла лекций.................................................................512
16.4. Определение ключевых точек цикла лекций........................................................514
16.5. Оператор и псевдообратная матрица....................................................................516
16.6. Знакомство с первыми двумя разделами..............................................................518
16.7. Вся предметная область и работа с графами........................................................520
17. Предметный указатель..............................................................................529
18. Список литературы....................................................................................543
Часть 2
