Януш Г. Дж. Алгебраические числовые поля. Пер. с англ. — Новосибирск: Научная книга (ИДМИ), 2001. — 248 с. — (Университетская серия. Т. 6).
Изложены основные теоремы о полях классов алгебраических числовых полей для читателей с минимальной предварительной подготовкой. Автор следует прямому подходу, основанному на конгруэнц-подгруппах группы классов идеалов. Первые три главы могут служить введением в арифметику полей, дедекиндовы области, нормирования, группы Галуа, ветвления, свойства символа Артина и др. Доказываются также аналитические теоремы Фробениуса о плотности и Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Представленный материал соответствует годовому курсу, прочитанному автором в университете Иллинойс (США). Книга сопровождается большим количеством примеров и упражнений.
Для студентов математических факультетов, специалистов по алгебре и математиков различных специальностей, желающих освоить современные алгебраические методы.
Содержание
Глава 1. Подколыда полей.................................................1
1. Локализация.......................................................1
2. Целая зависимость................................................4
3. Кольца дискретного нормирования и дедекиндовы кольца........7
4. Дробные идеалы и группа классов................................16
5. Нормы и следы...................................................18
6. Расширения дедекиндовых колец................................23
7. Ветвление и дискриминант.......................................30
8. Нормы идеалов...................................................37
9. Алгебраические целые элементы.................................41
10. Круговые поля..................................................46
11. Квадратичная взаимность.......................................53
12. Решетки в вещественных векторных пространствах............57
13. Число классов и теорема о единицах............................61
Глава 2. Полные поля....................................................74
1. Нормирования....................................................74
2. Пополнения.......................................................80
3. Продолжения неархимедовых нормирований.....................88
4. Пополнения относительно архимедовых нормирований..........96
5. Топология пополнении числовых полей..........................99
6. Локальные нормы и следы. Формула произведения.............102
Глава 3. Группы разложения и символ Артина.........................107
1. Группы разложения и инерции..................................107
2. Автоморфизм Фробенпуса.......................................111
3. Символ Артина для абелевых расширений......................114
Глава 4. Аналитические методы и классы лучей.......................119
1. Модули и классы лучей.........................................110
2. Ряды Дирихле...................................................Г24
3. Характеры абелевых групп......................................135
4. L-ряды и представления в виде произведений..................137
5. Теорема Фробениуса о плотности...............................142
Глава 5. Теория полей классов..........................................149
1. Когомологии циклических групп................................149
2. Подготовка к доказательству второго неравенства..............152
3. Вычисление норменного индекса................................156
4. Фундаментальное равенство для циклических расширений.....162
5. Теорема о взаимности...........................................167
6. Группы идеалов, кондукторы и поля классов...................173
7. Теорема существования: шаги сведения........................176
8. Расширения Куммера и теорема о 5-единицах..................178
9. Теорема существования.........................................181
10. Следствия теоремы о классификации..........................187
11. Норменные вычеты и кондуктор...............................190
12. Гильбертово поле классов......................................197
Глава 6. Квадратичные поля............................................202
1. Кондуктор поля Q(VS)..........................................202
2. Два гильбертова поля классов...................................205
3. Расширенная группа классов.....................................209
4. Число классов и L-функции.....................................216
Приложение.............................................................225
A. Теорема о нормальном базисе и "теорема Гильберта 90".......225
B. Модули над областями главных идеалов........................227
C. Представления групп перестановок и гауссовы суммы.........229
Литература.............................................................235
Предметный указатель.................................................236
