Артамонов В.А. Группы и их приложения в физике, химии, кристаллографии: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В.А. Артамонов, Ю.Л. Словохотов. — М., 2005. — 512 с.
Систематически изложена теория групп, рассмотрены ее физико-химические приложения. Представлены основные групповые конструкции, теория конечно порожденных абелевых и кристаллографических групп, основы теории представлений конечных групп, линейные группы и их алгебры Ли. Кратко рассмотрены квазикристаллы, ренормгруппа, алгебры Хопфа и топологические группы. Обсуждаются соотношения симметрии в механике, молекулярной спектроскопии, физике твердого тела, а также в теории атомов, ядер и элементарных частиц.
Для студентов естественно-научных специальностей высших учебных заведений. Может быть полезен аспирантам и научным работникам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................ 3
Глава 1. Основы теории групп....................................6
1.1. Определение группы ............................................6
1.2. Подгруппы ........................................................25
1.3. Порядки элементов группы....................................27
1.4. Циклические группы и их подгруппы........................28
1.5. Смежные классы и теорема Лагранжа......................29
1.6. Гомоморфизмы и фактор-группы..............................32
1.7. Классы сопряженных элементов..............................41
1.8. Коммутант группы ..............................................46
1.9. Прямые и полупрямые произведения групп................49
1.10. Группы симметрий молекул....................................56
1.10.1. Точечные группы.................... 56
1.10.2. Двойные группы..................... 70
1.10.3. Группы Лонге-Хиггинса................ 71
Глава 2. Кристаллографические группы ........................74
2.1. Конечно порожденные абелевы группы......................74
2.2. Решетки в евклидовых пространствах........................82
2.3. Группа движений................................................86
2.4. Двумерный случай................................................91
2.5. Трехмерный случай..............................................95
2.6. Решетки Браве и их элементарные ячейки.........101
2.7. Международная система обозначений точечных групп ...............................106
2.8. Стереографическая проекция.................109
2.9. Кристаллические классы и простые формы........112
2.9.1. Простые формы и их комбинации...........112
2.9.2. Индексы Миллера....................117
2.10. Плоские группы G.......................121
2.11. Пространственные группы G3.................123
2.12. Другие группы Gm .......................132
2.13. Цветная симметрия и подгруппы .............139
2.14. Обратная решетка........................143
2.15. Гиперпространственные группы несоразмерных фаз . . . 147
Глава 3. Элементы теории представлений групп . . . . . . . 152
3.1. Основные понятия и примеры.................152
3.2. Теорема Машке..........................159
3.3. Неприводимые представления абелевых групп.......161
3.4. Одномерные представления произвольных групп.....165
3.5. Неприводимые представления групп диэдра........166
3.6. Лемма Шура и ее следствия..................168
3.7. Характеры представления...................171
3.8. Тензорные произведения представлений ...............178
3.9. Индуцированные представления...............183
3.10. Неприводимые представления группы Sn..........186
3.11. Конечномерные неприводимые представления
группы GL(n, С).........................193
3.12. Неприводимые представления пространственных групп . 194
3.13. Таблицы характеров некоторых конечных групп.....196
3.13.1. Точечные и двойные группы.............196
3.13.2. Приведение представлений с помощью таблицы характеров........................201
3.14. Представления пространственных групп и симметрия особых точек зоны Бриллюэна..................203
Глава 4. Основы теории групп Ли..............................212
4.1. Линейные группы Ли......................212
4.2. Алгебраическая структура на Tq(E).............223
4.3. Группы Ли и их представления: предварительные иллюстрации ..............................226
4.4. Кольца и алгебры........................239
4.5. Связные и несвязные группы Ли...............252
4.6. Алгебры Ли............................260
4.7. Представления компактных групп Ли............261
4.8. Представления групп SU(2, С), SO(3,R), SO(4,R) .... 265
4.9. Представления групп SL(2,C) и 0(1,3)...........268
Глава 5. Приложения теории групп в физике и химии.... 275
5.1. Алгебраические соотношения механики...........275
5.1.1. Классическая механика................277
5.1.2. Релятивистская механика...............279
5.1.3. Квантовая механика..................281
5.1.4. Перестановки тождественных частиц: бозоны и фермионы.........................285
5.2. Спектры и электронное строение многоатомных молекул 290
5.2.1. Правила отбора в оптической спектроскопии . . . 292
5.2.2. Симметризованные молекулярные-орбитали . . . . 299
5.2.3. Электронно-колебательные взаимодействия .... 304
5.2.4. Химические приложения симметрии ........307
5.3. Симметрия и физические свойства кристаллов......310
5.3.1. Матрица термодинамических коэффициентов . . . 310
5.3.2. Колебательные спектры кристаллов.........317
5.3.3. Зонная структура кристалла.............322
5.3.4. Электрон-фононное взаимодействие.........326
5.3.5. Приближение слабой связи .............329
5.3.6. Фазовые переходы в твердом теле..........333
5.3.7. Молекулярные кристаллы...............338
5.4. Непрерывные группы в теории атомов и молекул.....344
5.4.1. Одноэлектронные состояния атома и правила отбора ............................344
5.4.2. Термы многоэлектронного атома...........348
5.4.3. Коэффициенты векторного сложения........354
5.4.4. Теория поля лигандов.................360
5.4.5. Квантовые состояния атомных ядер.........361
5.4.6. Термы линейных молекул...............367
5.4.7. Вращательные состояния молекул и структурная нежесткость.......................369
5.4.8. Ядерные спиновые состояния молекул.......375
5.5. Релятивистские инварианты элементарных частиц .... 377
5.5.1. Квантовое поле .....................378
5.5.2. Группа Пуанкаре и релятивистские инварианты . 383
5.5.3. Статистика, спин и четность.............386
5.5.4. Матрицы Дирака....................389
5.5.5. Изоспин и мультиплеты масс.............392
Глава 6. Дальнейшее развитие теории групп и ее современные приложения.................. 398
6.1. Доказательство теоремы Шенфлиса—Бибербаха.....398
6.2. Разрешимые и нильпотентные группы............404
6.3. Квазикристаллы.........................408
6.3.1. Математическая теория квазикристаллов.....411
6.3.2. Симметрии квазикристаллов.............423
6.4. Фазовые переходы и группа перенормировок .......429
6.5. Линейные группы и алгебры Хопфа.............435
6.6. Топологические группы.....................441
6.6.1. Группы (ко)гомологий.................441
6.6.2. Гомотопические группы................444
Глава 7. Дополнение: сведения из линейной алгебры .... 446
7.1. Матрицы..............................446
7.2. Линейные пространства и подпространства........448
7.3. Плоскости.............................450
7.4. Билинейные и полуторалинейные функции.........451
7.5. Евклидовы и эрмитовы пространства............454
7.6. Линейные операторы......................456
7.7. Линейные операторы в евклидовых, эрмитовых и симплектических пространствах..................460
7.7.1. Сопряженный и нормальный операторы......460
7.7.2. Самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы.........................464
7.8. Симплектические линейные операторы...........467
7.9. Аффинные преобразования и движения ..........467
7.10. Дуальное (двойственное) пространство...........469
7.11. Тензорные произведения и тензоры.............470
Приложения.................................474
Список литературы............................498
