Б. В. КУТУЗОВ. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО и ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ. Пособие для учителей средней школы. - М.: ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР, 1950.
Преподаватель математики в средней школе обязан полностью овладеть основными понятиями и фактами геометрии Лобачевского, так как только в свете геометрии неевклидовой выясняется логическая структура евклидовой геометрии, изучаемой в средней школе. Ученик старших классов средней школы также может с интересом и с пользой овладеть основным содержанием геометрии Лобачевского.
Справедливо сказал П. С. Александров: „Алгебраическое мышление начинается с теории групп, и без знания элементов этой теории нельзя быть математиком не только образованным, но и просто грамотным.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................... 2
Введение............................. . . ...... 3
§ 1. Обзор основных теорем до введения параллельных (7). § 2. Теоремы Лежандра-Саккери о сумме углов треугольника (9). § 3. Постулат Паша (14). § 4. Четырёхугольник с двумя прямыми углами и его свойства (14).
Глава I. Предложения, эквивалентные постулату Евклида............. 16
§ 5. Сумма углов треугольника равна 2d — предложение, эквивалентное постулату Евклида (17). § 6. Сумма углов в каждом треугольнике одна и та же — предложение, эквивалентное постулату Евклида (19). § 7. Ошибочное доказательство Лежандра теоремы: „Сумма углов треугольника не может быть меньше 2d* (21). § S. Через любую точку внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла, — предложение, эквивалентное постулату Евклида (23). § 9. Существуют два подобных, но не равных треугольника—предложение, эквивалентное постулату Евклида (24). § 10. Одно мнимое доказательство постулата Евклида, принадлежащее Клавию (25). § 11. Теорема В. Болиаи (26). § 12. Ещё одно предложение, эквивалентное постулату о параллелях (27). § 13. Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу—предложение, эквивалентное постулату Евклида (27).
Глава II. О некоторых фактах геометрии Лобачевского............... 30
§ 14. Постулат Лобачевского (30). § 15. Сумма углов треугольника иа плоскости Лобачевского (31). § 16. Теорема о перпендикуляре к одной стороне угла, не пересекающем другую (32). § 17. Эквидистанта (35). § 18. Ещё некоторые теоремы геометрии Лобачевского (36). § 19. О треугольниках, около которых нельзя описать окружность (37). § 20. Сторона правильного вписанного в круг шестиугольника больше радиуса этого круга (38).
Глава III. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского....... 39
§ 21. Параллельные и сверхпараллельные прямые (39). § 22. Свойства параллельных прямых (41). § 23. Угол параллельности (47). § 24. Свойства сверхпараллелей Лобачевского (50). § 25. Некоторые частные случаи взаимного расположения прямых на плоскости Лобачевского (52).
Глава IV. Учение о площадях в геометрии Лобачевского . . . . ........... 55
§ 26. Конгруеитность четырёхугольников Саккери (55). § 27. Дефект треугольника и площадь треугольника (56). § 2S. Предельные случаи треугольников (60). § 29. Предложение о существовании треугольника, площадь которого как угодно велика, эквивалентно постулату Евклида (61). § 30. Обзор вклада, сделанного Лобачевским в математику (61;.
Глава V. Обзор евклидовых „Начал".......................... 63
§ 31. Содержание „ Начал" Евклида (63). § 32. Способ изложения „Начал" (65). § 33. Основные положения «Начал» (65). § 34. О некоторых недостатках, достоинствах и историческом значении „Начал" (66).
Глава VI. Основные объекты, основные отношения между этими объектами и аксиомы геометрии.................................... 72
§ 35. Аксиоматическое построение геометрии. Основные понятия (72). § 36. Первая группа аксиом: аксиомы соединения (принадлежности (72). § 37. Вторая группа аксиом: аксиомы порядка (76). § 38. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности и движения (80). $ 39. Четвёртая группа аксиом: аксиома о параллельных (84). § 40. Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности (84).
Глава VII. Идея интерпретации геометрической системы .............. 8Э
§ 41. Пример интерпретации плоской геометрии Евклида (89). § 42. Интерпретация Фёдорова (90). § 43. Аналитическая интерпретация геометрии Евклида (93). § 44. Интерпретация Бельтрами-Клейна геометрии Лобачевского (94). § 45. Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского на плоскости (99). § 46. Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского в пространстве (112). § 47. Эквидистантные поверхности, предельные поверхности и сфеоы (115).
Глава VIII. Совместность и независимость аксиом. Изоморфизм.......... 119
§ 48. Совместность системы аксиом (119). § 49. Независимость аксиом (120). §50. Эквивалентность двух систем аксиом (121). § 51. О понятии изоморфизма (122). § 52. Заключение (126).
Литература...................................... 127
