Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 148 стр.
Целью книги является быстрое и глубокое введение в теорию групп. В первой части излагаются основы теории, строится спорадическая группа Матье, объясняется ее связь с теорией кодирования и системами Штейнера. Во второй части рассматривается теория Басса—Серра групп, действующих на деревьях. Особенность книги — геометрический подход к теории конечных и бесконечных групп. Имеется большое количество примеров, упражнений и рисунков.
Для научных работников, аспирантов и студентов университетов.
Оглавление
Предисловие..........................................................7
Глава 1. Введение в теорию конечных групп ..............8
§ 1. Основные определения........................................8
§ 2. Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа и фактор-группа ........................12
§3. Теоремы о гомоморфизмах....................................14
§ 4. Теорема Кэли ..................................................15
§5. Двойные смежные классы....................................16
§ б. Действие группы на множестве..............................17
§ 7. Нормализатор и централизатор. Центр конечной р-группы неединичен..................................20
§ 8. Теорема Силова................................................21
§ 9. Прямые произведения групп..................................23
§ 10. Простые конечные группы....................................25
§ 11. Группа Аn проста при n > 5..................................26
§ 12. A5 как группа вращений икосаэдра..........................27
§ 13. как первая нециклическая простая группа..............28
§ 14. как проективная специальная линейная группа .... 30
§ 15. Теорема Жордана - Диксона..................................32
§ 16. Группа Матье М22 ............................................34
§ 17. Группы Матье, системы Штейнера и теория кодирования 42
§ 18. Теория расширений............................................45
§ 19. Теорема Шура..................................................47
§20. Группа Хигмэна-Симса......................................48
Глава 2. Введение в комбинаторную теорию групп ... 54
§ 1. Графы и графы Кэли групп..................................54
§2. Автоморфизмы деревьев......................................60
§3. Свободные группы ............................................62
§4. Фундаментальная группа графа..............................67
§ 5. Задание группы порождающими и определяющими соотношениями...........68
§ 6. Преобразования Титце........................................71
§ 7. Представление группы Sn....................................74
§ 8. Деревья и свободные группы ................................75
§9. Переписывающий процесс Райдемайстера-Шрайера . . 81
§ 10. Свободное произведение......................................83
§11. Свободное произведение с объединением....................85
§ 12. Деревья и свободные произведения с объединением ... 87
§ 13. Действие группы SL2(Z) на гиперболической плоскости . 89
§ 14. HNN-расширения..............................................95
§ 15. Деревья и HNN-расширения..................................98
§ 16. Граф групп и его фундаментальная группа................98
§ 17. Связь свободных произведений с объединением и HNN-pacширений ......101
§ 18. Структура группы, действующей на дереве........102
§ 19. Теорема Куроша................................................106
§ 20. Накрытия графов.......................107
§ 21. 5-графы и перечисление подгрупп свободных групп ... 111
§22. Фолдинги........................................................113
§ 23. Пересечение двух подгрупп свободной группы......117
§24. Комплексы...........................119
§ 25. Накрытия комплексов ....................122
§ 26. Поверхности....................................................126
§27. Теорема Зайферта-ван Кампена..............132
§ 28. Теорема Грушко........................133
§ 29. Хопфовы и финитно аппроксимируемые группы.....135
Историческая справка.......................140
Список литературы.........................144
