Феферман С. Числовые системы: основания алгебры и анализа

Феферман С. Числовые системы: основания алгебры и анализа. М.: Главная редакция Физико-математической литературы. - 1971. - 440 с.
Вначале автор излагает элементы математической логики, наивной теории множеств вплоть до возникновения парадоксов. Затем выбирается некоторая система аксиом теории множеств (она приводится полностью в добавлении I), лежащая в основе всего дальнейшего изложения. Аксиоматическое изложение обычно перегружается формальными выкладками, затрудняющими чтение. Автор удачно избегает этого, вместе с тем сохраняя достаточную строгость, и всюду заботится о логической обоснованности каждого нового шага, каждого введения нового понятия, стараясь заблаговременно подготовить читателя к этому. Автор также показывает важность полученных результатов, мотивирует необходимость изучения возникающих вопросов и, наконец, не только знакомит читателя с некоторым кругом идей и методов, но и старается развивать у него определенные навыки творческого мышления, навыки в решении задач. Перечисленные методические достоинства наряду с несомненными научными позволяют рекомендовать книгу в качестве учебного пособия для физико-математических школ, для студентов младших курсов педагогических вузов и университетов. Без сомнения, она должна заинтересовать также учителей математики школ и преподавателей математики высших учебных заведений.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора 7
Предисловие 9
Глава 1 Логические предпосылки 11
1.1. Введение 11
Математический метод (13).
1.2. Логика 15
Математические утверждения и их строение (15). Существование (18). Логические связки (21). Глава 2 Теоретико-множественные нредносылки 25
2.1. Множества 25
Множества как абстракции от условий (25). Расширение понятия множества (28). Тождество и включение (31). Некоторые особенные множества (33).
2.2. Алгебра множеств 37
Пересечение, объединение и дополнение (37). Основные законы алгебры множеств (41). Расширение понятий пересечения и объединения (45).
2.3. Отношения и функции 47
Отношения как абстракции от условий (47). Упорядоченные пары и декартовы произведения (49). Область определения, область значений, инверсия (51). Тернарные (и т. д.) отношения (54). Операции над отношениями, композиция (55). Специальные виды отношений (56). Отношения эквивалентности и разбиения (57). Функции (58). Отношения конгруентности (63). Инверсия функции и композиция функций (65).
2.4. Математические системы отношений и функций 67
Изоморфизм (68). Теоретико-множественная эквивалентность (70). Подсистемы (71).
Глава 3 Положительные целые числа 77
3.1. Основные свойства 77
Системы Пеано и доказательства по индукции (78). Функции на системах Пеано (80). Изоморфизм систем Пеано (84).
3.2. Арифметика положительных целых чисел 86
Рекурсивные определения (86). Сложение положительных целых чисел (88). Умножение положительных целых чисел (91). Возведение в степень и другие операции (93).
3.3. Порядок 94
Линейно упорядоченные системы (95). Вполне упорядоченные системы (97). Упорядочение и арифметические операции (101).
3.4. Последовательности, суммы и произведения 103
Конечные и бесконечные последовательности (103). Обобщенные суммы и произведения (105). Обобщенные законы ассоциативности и коммутативности (106). Некоторые специальные суммы и произведения (ПО).
Глава 4 Целые числа и области целостности 1 114
4.1. Расширение области натуральных чисел 114
Практические мотивировки (114). Алгебраические мотивировки (116). Коммутативные кольца с единицей (118).
4.2. Области целостности 122
Упорядоченные области целостности (123). Абсолютные величины (126).
4.3. Построение и характеристика целых чисел 127
Теорема существования (128). Однозначность характеристики (134).
4.4. Целые числа как система индексов 136
Более общие законы ассоциативности и коммутативности (139). Геометрическая прогрессия, биномиальное разложение (141).
4.5. Математические свойства целых чисел 145
Алгоритм деления (145). Отношение делимости и простые числа (147). Наибольшие общие делители (149), Разложение целых чисел на простые множители (153). Позиционные системы обозначений целых чисел (156).
4.6. Отношения конгруентности в области целых чисел 161
Гомоморфизмы (162). Свойства, сохраняющиеся при гомоморфизмах (163). Отношение конгруентности по модулю целого числа (166). Приложения к задаче Диофанта (168). Глава 5 Полиномы 172
5.1. Полиномиальные функции и полиномиальные формы 172
Существование и единственность простых трансцендентных расширений (174). Делимость и корни полиномов (183). Формальные производные (184).
5.2. Полиномы от нескольких переменных 185
А:-кратные трансцендентные расширения (186). Симметрические полиномы (191). Основная теорема о симметрических полиномах (194).
Глава 6 Рациональные числа и ноля 199
6.1. К расширению областей целостности 199
Алгебраические мотивировки (199). Геометрические мотивировки (200). Поля (202). Упорядоченные поля; плотные упорядочения (205). Некоторые конечные поля (206).
6.2. Поля частных 207
Теорема существования (207). Изоморфизм полей частных (213). Рациональные числа; поля рациональных форм (214).
6.3. Решения алгебраических уравнений в полях 216
Системы линейных уравнений (217). Линейные уравнения в областях целостности (222). Полиномиальные уравнения в рациональных числах (223). 6.4. Полиномы над произвольным полем 225
Основные свойства делимости (226). Простые полиномы (228). Алгоритм деления для полиномов (230). Наибольшие обилие делители (231). Теорема об однозначной разложимости полиномов (233).
Глава 7 Действительные числа 239
7.1. К расширению системы рациональных чисел 239
Алгебраические мотивировки (239). Геометрические мотивировки (241). Верхние и нижние классы сечений, непрерывно упорядоченные системы (244). Суш;ествование непрерывно упорядоченных систем (246). Наибольшие нижние и наименьшие верхние грани (249).
7.2. Непрерывно упорядоченные поля 253
Свойство Архимеда (253). Изоморфизм непрерывно упорядоченных полей (257). Пределы (258). Фундаментальные последовательности (261). Теорема Больцано — Вейерштрасса (262). Построение непрерывно упорядоченного поля (267).
7.3. Бесконечные ряды и разложения действительных чисел 276
Позиционные обозначения для действительных чисел (277). Степенные ряды (283). Экспоненциальная функция (285).
7.4. Полиномы и непрерывные функции в области действительных чисел 289
Теорема Вейерштрасса об обраш;ении в нуль (290). Действительные полиномы и их корни (292). Вычисление корней (297). Локализация всех корней; теорема Штурма (300). Рациональные и действительные степени действительных чисел (308),
7.5. Алгебраические и трансцендентные числа 311
Метод Кантора (312). Счетные и несчетные множества (314). Суш;ествование трансцендентных действительных чисел (318). Метод Лиувилля (320). Глава 8 Комплексные числа 327
8.1. Основные свойства 327
Характеристика комплексных чисел (327). Комплексная сопряженность (330). Квадратные корни из комплексных чисел (331). Геометрическая интерпретация (333). Абсолютная величина (334). Основные свойства тригонометрических функций (337). Тригонометрическая форма, теорема Муавра (341). Корни и-й степени из комплексных чисел (342).
8.2. Полиномы и непрерывные функции в области комплексных чисел 346
Пределы и обобш;енная теорема Больцано — Вейерштрасса (347). Обобш;ение понятия непрерывности (350). Полиномиальные функции; рост и минимум их модулей (352). Основная теорема
алгебры комплексных чисел (354). О вычислении корней комплексных полиномов (358). Разложение действительных полиномов (359).
8.3. Корни комплексных полиномов 360
Корни полиномов над подполем (360). Алгебраически замкнутые подполя (361). Кратные корни, дискриминанты (366). Корни кубического уравнения (370). Корни уравнений четвертой степени (373). Об уравнениях высших степеней (374). Глава 9 Поля алгебраических чисел и расширения нолей 377
9.1. Порождение подполей 377
Обилий процесс расширения (379). Простые расширения (379). Простые трансцендентные расширения (380). Простые алгебраические расширения (381). Присоединение корней к произвольным полям (385).
9.2. Алгебраические расширения 388
Линейно порожденные расширения; базы и размерность (390). Конечные расширения полей (393). Повторные конечные расширения (394).
9.3. Приложения к задачам о геометрических построениях 397
Основные геометрические понятия (397). Реализация в декартовой плоскости (397). Построения с помош;ью циркуля и линейки (399). Алгебраический эквивалент задач на построение (401). Некоторые классические задачи на построение (404). Правильные многоугольники; решение Гаусса (406).
9.4. Заключение 409
Добавление I Некоторые аксиомы теории множеств 412
Добавление II Аналитическое определение тригонометрических функций 422
Список книг для дальнейшего чтения 430
Именной указатель 431
Предметный указатель 432
Указатель обозначений 436