Гашков С.Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях.- М., 2006. — 328 с.
Предлагаемая вниманию читателя книга представляет собой учебное пособие по алгебре для учащихся 10-х и 11-х классов физико-математических школ. Его основу составили записи лекций, читавшихся автором в специализированном учебно-научном центре МГУ им. М.В.Ломоносова - школе имени академика А. Н. Колмогорова, более известной под названиями ФМШ МГУ и интернат МГУ. Книга покрывает курс алгебры для учащихся 10-х классов СУНЦ (и аналогичных ему учебных заведений) и содержит основную часть обязательного курса алгебры для 11-х классов.
По традиции, установленной А.Н.Колмогоровым, курс алгебры для «ФМШат» состоит из двух частей: некоторого обязательного набора понятий, конструкций и теорем (эта часть является общей для всех лекционных курсов алгебры, читавшихся в этой школе) и решения некоторой интересной содержательной проблемы (например, построение циркулем и линейкой правильных n-угольников, теорема Абеля—Руффини о неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени, квадратичный закон взаимности и т. п.).
В этой книге излагается первая часть курса, а также некоторый вариант дополнительных глав. В ней много задач, в основном довольно трудных. Она может служить учебным пособием по алгебре и для студентов вузов.
Оглавление
Предисловие ........................................................................3
Глава I. Числа и комбинаторика ....................................................4
§1.1. Позиционные системы счисления ................................................4
§1.2. Натуральные числа ........................................................................11
§1.3. Алгоритм Евклида и цепные дроби..............................................20
§1.4. Числа Фибоначчи............................................................................27
§1.5. Квадратные уравнения ..................................................................32
§1.6. Комбинаторика отображений........................................................38
§1.7. Полиномиальная теорема..............................................................46
§ 1.8. Сочетания и разбиения..................................................................52
§1.9. Перестановки и подстановки........................................................60
§ 1.10. Циклы и транспозиции ..................................................................65
Глава II. Числа и группы....................................................................71
§2.1. Группа подстановок........................................................................71
§ 2.2. Группы и подгруппы ........................................................................75
§ 2.3. Циклические группы ......................................................................79
§ 2.4. Теорема Лагранжа..........................................................................83
§ 2.5. Кольца и поля вычетов ..................................................................88
§ 2.6. Прямое произведение ....................................................................95
§2.7. Конечные поля ................................................................................102
§2.8. Первообразные корни....................................................................107
§2.9. Алгебра и криптология ..................................................................119
Глава III. Многочлены..........................................................................135
§3.1. Кольцо многочленов ......................................................................135
§3.2. Алгоритм Евклида и теорема Безу..............................................142
§3.3. Интерполяция..................................................................................145
§ 3.4. Производные и кратные корни ....................................................151
§3.5. Схема Горнера ................................................................................155
§3.6. Аддитивные цепочки ......................................................................161
§3.7. Приближенное вычисление корней многочленов ......................166
§3.8. Разложение на множители............................................................174
§3.9. Взаимные многочлены....................................................................181
§3.10. Симметрические многочлены ........................................................184
§ 3.11. Быстрое умножение........................................................................192
§3.12. Разложение на бесквадратные множители ................................197
Глава IV. Алгебраические уравнения .......................204
§4.1. Решение кубических уравнений....................................................204
§ 4.2. Неприводимый случай ....................................................................208
§ 4.3. Комплексные числа ........................................................................210
§ 4.4. Вычисления на калькуляторе ........................................................222
§ 4.5. Корни из комплексных чисел ........................................................227
§ 4.6. Кубические уравнения над полем комплексных чисел ..............233
§4.7. Уравнения четвертой степени........................................................236
§ 4.8. Решение кубического уравнения методом Лагранжа................237
§4.9. Решение методом Лагранжа уравнений четвертой степени .. 241
§4.10. Решение методом Эйлера уравнений четвертой степени..........245
§4.11. Основная теорема алгебры............................................................248
§4.12. Как решать уравнения на экзаменах ..........................................254
§4.13. Системы уравнений ........................................................................262
§4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно трудными .... 272
§4.15. Алгебра и геометрия ......................................................................276
§4.16. Комплексная тригонометрия ........................................................281
§4.17. Тригонометрические многочлены..................................................287
§4.18. Расширения полей..........................................................................298
§4.19. Построения циркулем и линейкой................................................308
§4.20. Теорема Абеля—Руффини..............................................................314
Приложение. Образцы контрольных работ разных лет, экзаменационных вопросов и задач ............320
Предметный указатель............................................................................324
