Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии

Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1976.
В настоящее время изложение аналитической геометрии все более проникается методами линейной алгебры. Современные курсы аналитической геометрии начинаются с изложения векторной алгебры и векторного введения координат..Затем следует линейная часть геометрии (прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве). После изложения теории линий и поверхностей второго порядка большое внимание уделяется вопросу линейных геометрических преобразований (изометрические, аффинные и проективные преобразования плоскости и пространства). При таком построении курса становится естественным рассмотрение многомерных векторных и точечных пространств как обобщение двумерного и трехмерного случаев.
Новое построение курса аналитической геометрии привело к изменению программы этой дисциплины и введению объединенного курса алгебры и аналитической геометрии. Такое построение курса принято сейчас в университетах и в педагогических институтах. Предлагаемый сборник задач написан в соответствии с новыми программами курса аналитической геометрии и объединенного курса аналитической геометрии и алгебры.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................. 8
ГЛАВА I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК
(задачи 1 — 290)
§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Координаты вектора (задачи 1—31)..............................11
§ 2. Радиус-вектор (задачи 32 — 44)..............................14
§ 3. Прямоугольные и аффинные координаты точек на плоскости и в пространстве (задачи 45 — 59)..................16
§ 4. Расстояние между двумя точками. Длина вектора; направляющие косинусы (задачи 60—79)..........................18
§ 5. Деление отрезка в данном отношении (задачи 80—113) . 20
§ 6. Полярные координаты. Сферические и цилиндрические координаты (задачи 114—130)................ 24
§ 7. Скалярное произведение векторов; угол между векторами (задачи 131 — 154)................... 26
§ 8. Векторы на ориентированной плоскости. Площадь треугольника (задачи 155—174)................ 28
§ 9. Ориентация пространства. Векторное и смешанное произведение (задачи 175 — 212).................. 31
§ 10. Скалярное, векторное и смешанное произведение в аффинных координатах (задачи 213 — 255)............ 35
§ 11. Барицентрические координаты (задачи 256 — 290)..... 40
ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ (задачи 291—362)
§ 1. Уравнения линий на плоскости (задачи 291—341) .... 48
§ 2. Уравнения поверхностей и линий в пространстве (задачи 342-362) . . . . ...................... 54
ГЛАВА III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ (задачи 363-490)
§ 1. Составление уравнения прямой по различным ее заданиям (задачи 363-380)....................... 57
§ 2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости (задачи 381—395)......................... 59
§ 3. Взаимное расположение трех прямых на плоскости. Пучок прямых (задачи 396—403).................. 61
§ 4. Расположение точек относительно прямой (задачи 404 — 415) 62
§ 5. Условие перпендикулярности двух прямых (задачи 416—429) ..................... ..... 63
§ 6. Углы между двумя прямыми. Угол от одной прямой до другой (задачи 430 — 449)................... 65
§ 7. Расстояние от точки до прямой (задачи 450 — 477) .... 67
§ 8. Метрические задачи на прямую в аффинных координатах (задачи 478—490)....................... 70
ГЛАВА IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (задачи 491 — 657)
§ 1. Составление уравнений прямых и плоскостей (задачи 491-523)............................ 72
§ 2. Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости (задачи 524 — 544)........... 76
§ 3. Взаимное расположение трех плоскостей. Пучок плоскостей. Связка плоскостей (задачи 545 — 555)......... 81
§ 4. Расположение точек относительно плоскости (задачи 556—566)............................ 84
§ 5. Перпендикулярность прямых и плоскостей (задачи 567—589)............................ 85
§ 6. Углы между прямыми и между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью (задачи 590 — 602).......... 87
§ 7. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя прямыми (задачи
603—622)............................ 89
§ 8. Векторные уравнения прямой и плоскости (задачи 623 — 651) 91
§ 9. Метрические задачи на прямую и плоскость в аффинных координатах (задачи 652 — 657) ............... 93
ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (задачи 658 - 696)
§ 1. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве (задачи 658 — 682).............. 95
§ 2. Преобразование прямоугольных координат на плоскости и в пространстве (задачи 683 — 696)............. 99
ГЛАВА VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (задачи 697 — 940)
§ 1. Окружность (задачи 697 — 728)................ 103
§ 2. Эллипс, гипербола, парабола (задачи 729 — 758)...... 108
§ 3. Фокусы и директрисы линий второго порядка. Уравнение линии второго порядка в полярных координатах (задачи 759 - 804) ...111
§ 4. Определение типа и расположения линии второго порядка по ее общему уравнению. Применение инвариантов (задачи 805 — 827). 115
§ 5. Касательные к линиям второго порядка (задачи 828 — 874) 119 § 6. Центр, диаметры, асимптоты линий второго порядка (задачи 875 — 926)...... 123
§ 7. Метрические задачи на линии второго порядка в аффинных координатах (задачи 927 — 940)............. 130
ГЛАВА VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (задачи 941 — 1152)
§ 1. Сфера (задачи 941 — 974)......................................134
§ 2. Цилиндры и конусы второго порядка (задачи 975 — 995) 138
§ 3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды (задачи 996—1040) 141
§ 4. Определение типа и расположения поверхности второго
порядка по ее общему уравнению. Применение инвариантов (задачи 1041- 1070) ................... 147
§ 5. Касательная плоскость. Прямолинейные образующие (задачи 1071 — 1103)........................ 155
§ 6. Центр. Диаметральные плоскости; плоскости симметрии и оси симметрии (задачи 1104—1128)............. 160
§ 7. Плоские сечения поверхностей второго порядка (задачи 1129-1152) .......................... 164
ГЛАВА VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА (задачи 1153— 1289)
§ 1. Аффинные преобразования (задачи 1153—1205)............169
§ 2. Аффинные преобразования линий второго порядка (задачи 1206— 1227) ....................... 176
§ 3. Изометрические преобразования (задачи 1228—1255) ... 178
§ 4. Инверсии (задачи 1256—1289)................ 186
ГЛАВА IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (задачи 1290 — 1594)
§ 1. Проективная прямая (задачи 1290—1345).......... 193
§ 2. Проективная плоскость (задачи 1346—1387)........ 201
§ 3. Проективные преобразования проективной плоскости (задачи 1388—1438)............209
§ 4. Линии второго порядка на проективной плоскости (задачи 1439—1514) ............219
§ 5. Проективное пространство (задачи 1515— 1594)....... 229
ГЛАВА X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (задачи 1595 — 1766)
§ 1. Векторные пространства (задачи 1595—1610) ...............250
§ 2. Точечные аффинные пространства (задачи ,1611 — 1632) . . . 252
§ 3. Евклидовы пространства (задачи 1633—1675) ..............256 г
§ 4. Линейные операторы (задачи 1676—1721) ..................261
§ 5. Линейные, билинейные и квадратичные функции (задачи 1722-1742).....268
§6. Поверхности второго порядка (задачи 1743—1766) .... 272
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ............................................286