Постников М.М. Теория Галуа. - М., 1963 г. -220 с.
В книге изложены классические аспекты теории Галуа: расширения полей и группа Галуа, теорема о неразрешимости алгебраических уравнений общего вида степени больше четырех, теория геометрических построений циркулем и линейкой. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров. Теория Галуа по-прежнему излагается для полей, принадлежащих некоторому единому «универсальному», алгебраически замкнутому полю характеристики 0 (для определенности — полю комплексных чисел). Это позволяет избежать трудной для начинающего абстрактной теоремы о существовании и единственности (с точностью до изоморфизма) поля разложения данного многочлена. По характеру изложения книга доступна студентам младших курсов высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................6
I ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
Глава 1. Элементы теории полей........................9
1. Предварительные замечания............................9
2. Некоторые важные типы расширений....................10
3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений..........13
4. Алгебраичность конечных расширений..................15
5. Строение составных алгебраических расширений ........ 16
6. Составные конечные расширения........................18
7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым............21
8. Поле алгебраических чисел............................23
9. Композит полей........................................24
Глава 2. Необходимые сведения из теории групп . .....26
1. Определение группы....................................26
2. Порядки элементов....................................28
3. Подгруппы, нормальные делители и фактор-группы .......30
4. Гомоморфные отображения..............................34
Глава 3. Теория Галуа....................................38
1. Нормальные расширения................................38
2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа....................42
3. Порядок группы Галуа............. ..................45
4. Соответствие Галуа . ...............................49
5. Теорема о сопряженных элементах......... . ..........52
6. Группа Галуа нормального подполя . .................54
7. Группа Галуа композита двух полей.....55
II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
Глава 1. Дополнительные сведения из общей теории групп............57
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах..................57
2. Нормальные ряды . . .................................58
3. Циклические группы . ...........................62
4. Разрешимые и абелевы группы........................67
5. Группы Z^ и М^......................................70
Глава 2. Уравнения, разрешимые в радикалах............74
1. Простые радикальные расширения .................74
2. Циклические расширения............... . 77
3. Радикальные расширения.................82
4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа .... 86
5. Уравнения, разрешимые в радикалах....................89
Глава 3. Построение уравнений, неразрешимых в радикалах ..............91
1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок ................91
2. Разложение подстановок в произведение циклов ................94
3. Четные подстановки. Знакопеременная группа................97
4. Строение знакопеременной и симметрической групп.............100
5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа . .............105
6. Обсуждение полученных результатов..........109
Глава 4. Неразрешимость в радикалах общего. уравнения степени n>5 ............112
1. Поле формальных степенных рядов...........112
2. Поле дробностепенных рядов..............118
3. Группа Галуа общего уравнения степени n.......122
4. Решение уравнений низших степеней..........126
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
Глава 1. Практическое вычисление групп Галуа уравнений ............131
1. Задание групп подстановок степени n многочленами от n неизвестных ..........131
2. Сопряженные группы подстановок...........134
3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена .....136
4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся
в знакопеременной группе...............140
5. Уравнения третьей и четвертой степени ................141
Глава 2. Уравнения пятой степени...........144
1. Транзитивные группы подстановок...........144
2. Транзитивные группы простой степени...... . 145
3. Транзитивные группы пятой степени ..........146
4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пятой степени.............149
5. Определяющий многочлен для метациклической группы.........151
6. Случай уравнений в нормальном виде.........153
7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах . .155
8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному
виду . ...............157
Глава 3. Решение уравнений в неприводимых радикалах 160
1. Формулировка основной теоремы...........160
2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям 161
3. Доказательство теоремы А...................163
4. Мультипликативная группа классов по примарному модулю ...........164
5. Группы Галуа примарных круговых расширений .... 168
6. Доказательство теоремы В...............171
Глава 4. Уравнения деления круга............174
1. Строение полей деления круга простого показателя ....174
2. Решение уравнений деления круга...........177
3. Прием Гаусса.....................178
4. Уравнение деления круга на 17 частей.........181
Глава 5. Построения циркулем и линейкой .......185
1. Основная теорема теории геометрических построений .....185
2. Примарные группы...................194
3. Пифагоровы расширения.................197
4. Некоторые конкретные задачи на построение......199
Задача об удвоении куба (199). Задача о трисекции угла (200). Задача о трех биссектрисах (201). Задача о построении правильного n-угольника. (202). Задача о квадратуре круга (205). Задача о луночках Гиппократа (211).
