Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. — Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999. - 348 стр.
Книга представляет собой общий обзор алгебры, ее основных понятий и разделов. Наряду с классическими разделами алгебры изложены многие современные понятии и результаты.Предыдущее издание, вышедшее в 1986 г. в серии ВИНИТИ «Итоги науки и техники», давно стало библиографической редкостью. В новом издании внесен ряд дополнений и уточнений, сделанных автором.
Для широкого круга специалистов, студентов, аспирантов физико-математических специальностей.
Содержание
Предисловие ............................. 7
§ 1. Что такое алгебра?........................ 9
Идея координатизации. Примеры: словарь квантовой механики и ко-ординатизация конечных моделей аксиом сочетания и параллельности
§2. Поля................................ 15
Аксиомы поля. Изоморфизм. Поле рациональных функций от независимых переменных, поле рациональных функций на плоской алгебраической кривой, поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана
§ 3. Коммутативные кольца..................... 23
Аксиомы кольца. Делители нуля и целостные кольца, Поле частных. Кольцо многочленов. Кольцо полиномиальных функций на плоской алгебраических кривой. Кольцо степенных рядов и формальных степенных рядов. Булевы кольца. Прямые суммы колец. Кольцо непрерывных функций. Разложение на множители. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы .................... 32
Гомоморфизмы, идеалы, факторкольца. Теорема о гомоморфизмах. Гомоморфизмы ограничения в кольцах функций. Кольца главных идеалов. Связь с факториальностью. Умножение идеалов. Характеристика поля. Расширение, в котором заданный многочлен имеет корень. Алгебраически замкнутые поля. Конечные поля. Представление элементов общих колец как функций на максимальных и простых идеалах. Целые числа как функции. Ультрапроизведение и нестандартный анализ. Коммутирующие дифференциальные операторы
§ 5. Модули .............................. 46
Прямые суммы и свободные модули. Тензорные произведения. Тензорная, симметрическая и внешняя степень модуля, двойственный модуль. Эквивалентность идеалов и изоморфизм модулей. Модули дифференциальных форм и векторных полей. Семейства векторных пространств и модули
§6. Алгебраический аспект размерности.............. 56
Ранг модуля. Модули конечного типа. Модули конечного типа над кольцом главных идеалов. Нётеровы модули и кольца, Нётеровы кольца и кольца конечного типа. Случай градуированных колец. Степень трансцендентности расширения. Конечные расширения
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий .... 69 Функции с точностью до бесконечно малых второго порядка и касательное пространство к многообразию. Особые точки. Векторные поля и дифференциальные операторы первого порядка. Бесконечно малые высших порядков. Струи и дифференциальные операторы. Пополнения колец, р-адические числа. Нормированные поля. Нормы поля рациональных чисел и рациональных функций. Поля р-адических чисел в теории чисел
§ 8. Некоммутативные кольца.................... 84
Основные определения. Алгебры над кольцами. Кольцо эндоморфизмов модуля. Групповая алгебра. Кватернионы и тела. Твисторное расслоение. Эндоморфизмы п-мерного пространства над телом. Тензорная алгебра и кольцо некоммутативных многочленов. Внешняя алгебра. Супералгебры. Алгебра Клиффорда. Простые кольца и алгебры. Левые и правые идеалы кольца эндоморфизмов векторного пространства над телом
§ 9. Модули над некоммутативными кольцами ..........101
Модули и представления. Представления алгебр на матричном языке. Простые модули, композиционные ряды, теорема Жордана-Гёльдера. Длина модуля и кольца. Эндоморфизмы модулей. Лемма Шура
§ 10. Полупростые модули и кольца.................108
Полупростота. Полупростота групповой алгебры. Модули над полупростым кольцом. Полупростые кольца конечной длины: теорема Веддербёрна. Простые кольца конечной длины и основная теорема проективной геометрии. Факторы и непрерывные геометрии. Полупростые алгебры конечного ранга над алгебраически замкнутым полем. Применения к представлениям конечных групп
§ 11. Тела конечного ранга ......................122
Тела конечного ранга над полем вещественных чисел и конечными полями. Теорема Тзена и квазиалгебраически замкнутые поля. Центральные тела конечного ранга над полем р-адических и полем рациональных чисел
§ 12. Понятие группы .........................129
Группы преобразований. Симметрии. Автоморфизмы. Симметрии
динамических систем и законы сохранения. Симметрии физических законов. Группы, регулярное действие. Подгруппы, нормальные делители, факторгруппы. Порядок элемента. Группа классов идеалов. Группа расширений модуля. Группа Брауэра. Прямое произведение двух групп
§ 13. Примеры групп: конечные группы...............145
Симметрические и знакопеременные группы. Группы симметрий правильных многоугольников и правильных многогранников. Группы симметрий решеток. Кристаллографические классы. Конечные группы, порожденные отражениями
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы......165
Дискретные группы преобразований. Кристаллографические группы. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского. Модулярная группа. Свободные группы. Задание групп соотношениями. Логические проблемы. Фундаментальная группа. Группа узла. Группа кос
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы . ..... 185
Группы Ли. Торы, Их роль в теореме Лиувилля, Классические компактные группы и некоторые связи между ними. Классические комплексные группы Ли. Некоторые другие группы Ли, группа Лоренца, Алгебраические группы. Группы аделей
§ 16. Общие результаты теории групп................199
Прямые произведения. Теорема Веддербёрна-Ремака-Шмидта. Композиционные ряды. Теорема Жордана-Гёльдера. Простые группы. Разрешимые группы. Простые компактные группы Ли. Простые комплексные группы Ли. Простые конечные группы
§ 17. Представления групп.......................210
Представления конечных групп. Соотношения ортогональности. Представления компактных групп. Интеграл по группе. Теорема Гельмгольца-Ли. Характеры коммутативных компактных групп и ряды Фурье. Тензоры Вейля и Риччи в четырехмерной римановой геометрии, представления групп SU{2) и SO{S). Эффект Зеемана. Представления некомпактных групп Ли. Полная приводимость представлений конечномерных классических комплексных групп Ли
§ 18. Некоторые приложения групп..................232
Теория Галуа. Разрешимость уравнений в радикалах. Теория Галуа дифференциальных уравнений. Классификация неразветвленных накрытий и фундаментальная группа. Первая основная теорема теории инвариантов. Представления групп и классификация элементарных частиц
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра............246
Скобка Пуассона как пример алгебры Ли, Кольца и алгебры Ли. Теория Ли. Группы Ли и движения твердого тела. Числа Кэли. Квазикомплексная структура на шестимерных подмногообразиях восьмимерного пространства. Неассоциативные вещественные тела
§ 20. Категории.............................264
Диаграммы и категории. Функторы. Функторы, возникающие в топологии: пространства петель, надстройки. Группы в категории. Гомотопические группы
§ 21. Гомологическая алгебра.....................279
Комплексы и их гомологии. Гомологии и когомологии полиэдров. Теорема о неподвижной точке. Дифференциальные формы и когомологии де Рама. Теорема де Рама. Точная последовательность когомо-логий. Когомологии модулей. Когомологии групп. Топологический смысл когомологий дискретных групп. Пучки, Когомологии пучков. Теоремы конечности. Теорема Римана-Роха
§ 22. К-теория.............................302
Топологическая К-теория. Векторные расслоения и функтор Vec{X). Теорема периодичности и функторы Кп{Х). Группа К{Х) и бесконечномерная линейная группа. Символ эллиптического дифференциального оператора. Теорема об индексе. Алгебраическая ії^-теория. Группа классов проективных модулей. Группы Kq^ К і и Кп кольца. Группа К2 поля и ее связь с группой Брауэра, JC-теория и арифметика
Комментарий к литературе ...................315
Литература..............................323
Именной указатель.........................334
Предметный указатель ......................337
