Шарипов Р. А. Курс дифференциальной геометрии : учебное пособие для вузов / Издание Башкирского университета. — Уфа, 1996. — 211 с.
Книга представляет собой учебное пособие по основному курсу дифференциальной геометрии и предназначена для первоначального знакомства с этой дисциплиной. Поэтому изложение начинается с теории кривых в трехмерном евклидовом пространстве E . Затем излагается векторный анализ в E в декартовых и в криволинейных координатах, после чего рассматривается теория поверхностей в пространстве E .
Новомодный подход, стартующий с понятия дифференцируемого многообразия, на наш взгляд, непригоден для первоначального знакомства с предметом. Слишком много усилий затрачивается на освоение этого понятия, а содержательная часть отодвигается на более поздний срок. Гораздо важнее быстрее познакомить читателя с другими элементами современной геометрии: векторным и тензорным анализом, с ковариантным дифференцированием и теорией римановой кривизны. Ограничение размерности n = 2 и n = 3 не является значительным препятствием на этом пути, а последующий переход от поверхностей к многообразиям большей размерности становится более естественным и простым.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................... 5.
ГЛАВА I. КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ
ТОЧЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ................................. 7.
§ 1. Кривые. Способы задания кривых. Регулярные
и особые точки кривой................................................. 7.
§ 2. Интеграл длины и выбор натурального параметра
на кривой.................................................................. 14.
§ 3. Репер Френе. Динамика репера Френе. Кривизна
и кручение пространственной кривой........................ 17.
§ 4. Центр кривизны и радиус кривизны. Эволюта
и эвольвента кривой.................................................. 20.
§ 5. Кривые как траектории материальных точек
в механике................................................................. 23.
ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО
И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА.................................... 26.
§ 1. Векторные и тензорные поля в пространстве............ 26.
§ 2. Тензорное произведение и свертка.............................. 30.
§ 3. Алгебра тензорных полей........................................... 36.
§ 4. Симметрирование и альтернирование......................... 40.
§ 5. Дифференцирование тензорных полей....................... 44.
§ 6. Метрический тензор и псевдотензор объема............... 49.
§ 7. Свойства псевдотензоров............................................ 54.
§ 8. Замечание об ориентации........................................... 55.
§ 9. Поднятие и опускание индексов.................................. 58.
§ 10. Градиент, дивергенция и ротор. Некоторые
тождества векторного анализа.................................. 60.
§ 11. Потенциальные и вихревые векторные поля............. 66.
ГЛАВА III. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ.......... 71.
§ 1. Некоторые примеры криволинейных систем
координат.................................................................. 71.
§ 2. Подвижный репер криволинейной системы
координат.................................................................. 76.
§ 3. Замена криволинейных координат.............................. 82.
§ 4. Векторные и тензорные поля в криволинейных
координатах............................................................... 87.
§ 5. Дифференцирование тензорных полей в криволинейных координатах............................................... 90.
§ 6. Преобразование компонент связности при
замене системы координат. ....................................... 98.
§ 7. Согласованность метрики и связности. Еще одна
формула для символов Кристоффеля..................... 100.
§ 8. Параллельный перенос. Уравнение прямой
в криволинейных координатах................................ 103.
§ 9. Некоторые вычисления в полярных, цилиндрических и сферических координатах. ....................... 111.
ГЛАВА IV. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ............... 118.
§ 1. Параметрическое задание поверхностей. Криволинейные координаты на поверхности..................... 118.
§ 2. Замена криволинейных координат на поверхности....................................................................... 124.
§ 3. Метрический тензор и тензор площади.................... 128.
§ 4. Подвижный репер поверхности. Деривационные
формулы Вайнгартена..........................................................................................131.
§ 5. Символы Кристоффеля и вторая квадратичная
форма............................................................................................................................................135.
§ 6. Ковариантное дифференцирование внутренних
тензорных полей на поверхности............................................................140.
§ 7. Согласованность метрики и связности
на поверхностях..............................................................................................................150.
§ 8. Тензор кривизны............................................................................................................155.
§ 9. Уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци......................................164.
ГЛАВА V. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТЯХ..................................169.
§ 1. Параметрическое уравнение кривой
на поверхности................................................................................................................169.
§ 2. Геодезическая и нормальная кривизна кривой....................171.
§ 3. Экстремальное свойство геодезических линий....................176.
§ 4. Внутренний параллельный перенос
на поверхностях..............................................................................................................182.
§ 5. Интегрирование на поверхностях. Формула
Грина............................................................................................................................................191.
§ 6. Теорема Гаусса-Бонне..............................................................................................198.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................................................210.
