Шарипов Р. А. Курс линейной алгебры и многомерной геометрии: учебное пособие для вузов / Изд-е Башкирского ун-та. — Уфа, 1996. — 146 с.
Книга рассчитана как учебное пособие по основному курсу многомерной геометрии и линейной алгебры.
Существует два подхода к изложению линейной алгебры и многомерной геометрии. Первый можно охарактеризовать как «координатно-матричный подход», второй — «инвариантно-геометрический подход». Инвариантно-геометрический подход, которого автор придерживается в данной книге, стартует с определения абстрактного линейного векторного пространства. На первый план выходят теоретико-множественные методы, принятые в современной алгебре и геометрии. Линейные векторные пространства оказываются тем объектом, где эти методы проявляются наиболее просто и эффективно. Доказательство многих фактов удается сделать более коротким и изящным.
Принятый в книге инвариантно-геометрический подход к изложению материала позволяет подготовить читателя к изучению более продвинутых разделов математики, таких, как дифференциальная геометрия, коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и алгебраическая топология.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
ПРЕДИСЛОВИЕ....................................................................................... 5.
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ...................................................... 6.
§ 1. Множества и отображения................................................................... 6.
§ 2. Линейные векторные пространства.................................................... 10.
§ 3. Линейная зависимость и независимость............................................. 14.
§ 4. Порождающие системы и базисы........................................................ 18.
§ 5. Координаты. Преобразование координат векторов
при замене базиса.............................................................................. 23.
§ 6. Пересечения и суммы подпространств................................................ 28.
§ 7. Смежные классы по подпространству. Понятие
факторпространства.......................................................................... 32.
§ 8. Линейные отображения...................................................................... 36.
§ 9. Матрица линейного отображения....................................................... 40.
§ 10. Алгебраические операции с отображениями.
Пространство гомоморфизмов Hom(V, W)........................................ 45.
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ................................................... 50.
§ 1. Линейные операторы. Алгебра эндоморфизмов
End(V) и группа автоморфизмов Aut(V)........................................... 50.
§ 2. Операторы проектирования................................................................ 56.
§ 3. Инвариантные подпространства. Сужение
и факторизация операторов............................................................... 61.
§ 4. Собственные числа и собственные векторы........................................ 65.
§ 5. Нильпотентные операторы................................................................. 71.
§ 6. Корневые подпространства. Теорема о сумме
корневых подпространств.................................................................. 79.
§ 7. Жорданов нормальный базис линейного оператора.
Теорема Гамильтона-Кэли................................................................... 84.
ГЛАВА III. СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО................................... 87.
§ 1. Линейные функционалы. Векторы и ковекторы.
Сопряженное пространство................................................................. 87.
§ 2. Преобразование координат ковектора
при замене базиса............................................................................... 92.
пространстве....................................................................................... 94.
§ 4. Сопряженное отображение.................................................................. 98.
ГЛАВА IV. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ
ФОРМЫ.......................................................................................... 101.
§ 1. Симметрические билинейные формы и квадратичные
формы. Формула восстановления.................................................... 101.
§ 2. Ортогональные дополнения относительно
квадратичной формы....................................................................... 104.
§ 3. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду. Индексы инерции и сигнатура................................................ 110.
§ 4. Положительно определенные квадратичные формы.
Критерий Сильвестра...................................................................... 116.
ГЛАВА V. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА........................................ 121.
§ 1. Норма и скалярное произведение. Угол между
векторами. Ортонормированные базисы.......................................... 121.
§ 2. Квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Диагонализация пары форм............................................................ 125.
§ 3. Самосопряженные операторы. Теорема о спектре
и базисе из собственных векторов.................................................... 129.
§ 4. Изометрии и ортогональные операторы............................................ 134.
ГЛАВА VI. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА........................................ 139.
§ 1. Точки и параллельные переносы. Аффинные
пространства................................................................................... 139.
§ 2. Евклидовы точечные пространства. Квадрики
в евклидовом пространстве. ........................................................... 142.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................... 146.
