Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии

Стернберг С.Лекции по дифференциальной геометрии. Пер. с анг. - М., Мир, 1970. - 412 с.
Книга известного американского математика содержит изложение основ теории дифференцируемых многообразии, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии, а также теории групп Ли.
Для чтения ее достаточно знаний начального университетского курса. Книга заинтересует математиков самых различных специальностей.
Как пишет сам автор в предисловии, эта книга не является ни «основами», ни обзором современной дифференциальной геометрии. Первые три ее главы следует рассматривать как введение в дифференциальную геометрию, а остальные четыре дают далеко продвинутое и подробное изложение отдельных вопросов, а именно вариационного исчисления на многообразиях, теории групп Ли, дифференциальной геометрии евклидова пространства и геометрии G-структур (вместе с теорией связностей).
Особенностью книги является то, что в ней сочетается изложение некоторых замечательных результатов «классической» дифференциальной геометрии (например, результаты Гаусса по теории поверхностей и новые исследования в этом направлении) с «современным» аспектом этой науки, который принято рассматривать как изучение так называемых «инфинитезимальных структур» на многообразиях.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ................................5
Из предисловия автора ..........................................7
Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ ... 11
§ 1. Тензорные произведения векторных пространств .... 11
§ 2. Тензорная алгебра векторного пространства..............15
§ 3. Контравариантная и симметрическая алгебры ............20
§ 4. Внешняя алгебра ......................................24
§ 5. Внешние уравнения ....................................33
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ..............40
§ 1. Определения............................................41
§ 2. Дифференцируемые отображения ........................47
§ 3. Теорема Сарда..........................................53
§ 4. Разбиение единицы, аппроксимационные теоремы..........64
§ 5. Касательное пространство. .............................79
§ 6. Главное расслоение ............................84
§ 7. Тензорные расслоения ..................................96
§ 8. Векторные поля и производные Ли ......................101
Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ 108
§ 1. Оператор d..............................................110
§ 2. Цепи и интегрирование..................................115
§ 3. Интегрирование плотностей ............................122
§ 4. Нульмерные и n-мерные когомологии; степень ............131
§ 5. Теорема Фробениуса ....................................141
І 6. Теорема Дарбу..........................................149
§ 7. Гамильтоновы структуры ................................154
Глава IV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ......................161
§ 1. Преобразования Лежандра ..............................162
§ 2. Необходимые условия....................................166
§ 3. Законы сохранения ....................................185
§ 4. Достаточные условия ..................................190
§ 5. Сопряженные и фокальные точки, условия Якоби..........198
§ 6. Риманов случай ........................................215
§ 7. Полнота................................................224
§ 8. Изометрии..............................................230
Глава V. ГРУППЫ ЛИ..........................................232
§ 1. Определения............................................232
§ 2. Инвариантные формы и алгебра Ли......................234
§ 3. Нормальные координаты, экспоненциальное отображение 240
§ 4. Замкнутые подгруппы ..................................246
§ 5. Инвариантные метрики..................................250
§ 6. Формы со значениями в векторном пространстве..........253
Глава VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА
ПРОСТРАНСТВА............................................256
§ 1. Структурные уравнения евклидова пространства .... 256
§ 2. Структурные уравнения подмногообразия ................262
§ 3. Структурные уравнения риманова многообразия..........265
§ 4. Кривые в евклидовом пространстве......................271
§ 5. Вторая фундаментальная Форма ........................283
§ 6. Поверхности............................................300
Глава VII. ГЕОМЕТРИЯ G-СТРУКТУР............................310
§ 1. Главные и ассоциированные расслоения; связности ....314
§ 2. G-структуры.............................................331
§ 3. Продолжения..........................................353
§ 4. Структуры конечного типа..............................362
§ 5. Связности на G-структурах..............................374
§ 6. Пульверизация линейной связности..........................384
Приложение I. Две теоремы существования . ...............391
Приложение II. Набросок теории интегрирования в En..............396
Литература......................................406
Укaзaтeль.............................................407